Задача 1.
Найти интервалы выпуклости функции
Указание
Функция выпукла при условии
Решение
Область определения функции: 
Ответ: 
Задача 2.
Найти интервалы вогнутости функции
Указание
Границами интервалов выпуклости и вогнутости могут быть не только точки, в которых вторая производная равна нулю, но и точки, в которых она не существует.
Решение
Область определения функции:
Представим вторую производную в виде:
И исследуем знак полученного выражения. Корень знаменателя: Х = 2. Найдем корень числителя.
Знак второй производной:
Рис. 8
Следовательно, интервалы вогнутости: 
Ответ:
Задача 3.
Найти точки перегиба функции
Указание
В точках перегиба вторая производная меняет знак, то есть требуется найти точки, в которых У’’ = 0 или не существует.
Решение
Область определения функции:
Проверим, меняется ли знак второй производной в найденных точках.
Рис. 9
Значит, Х = +1 – точки перегиба.
Ответ: Х = +1.
Задача 4.
При каких значениях А и B точка (-2,0) служит точкой перегиба линии
Указание
Для определения А и B требуется решить систему
Решение
Для того чтобы (-2,0) была точкой перегиба, нужно, чтобы Y’’(-2)=0.
При этом точка (-2,0) лежит на кривой, то есть У(-2)=0. Подставим в это равенство B = 6A:
Ответ: А = 1, B = 6.
Задача 5.
Сколько асимптот имеет график функции
Указание
График имеет вертикальные асимптоты, если
Условие наличия горизонтальной асимптоты – конечный предел
Если этот предел бесконечен, функция может иметь наклонную асимптоту при условии, что
Решение
Исследуем функцию на наличие асимптот разных видов.
1) х = +1 – точки разрыва 2-го рода, поэтому прямые Х = +1 – горизонтальные асимптоты графика.
Следовательно, прямая У = 2 – горизонтальная асимптота графика на обоих концах оси Ох. При этом наклонных асимптот у функции быть не может.
Итак, график имеет 3 асимптоты (две вертикальных и одну горизонтальную).
Ответ: 3.
Задача 6.
Асимптоты какого вида имеет график функции
Указание
График имеет вертикальные асимптоты, если
Условие наличия горизонтальной асимптоты – конечный предел
Если этот предел бесконечен, функция может иметь наклонную асимптоту при условии, что
Решение
1)Точка разрыва функции: Х = 0. При этом
Если хотя бы один из односторонних пределов в данной точке бесконечен, через точку проходит вертикальная асимптота. Значит, Х = 0 – вертикальная асимптота графика.
Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
Значит, прямая У = х + 3 – наклонная асимптота графика.
Ответ: график имеет вертикальную и наклонную асимптоту.