Задача 1.
Найти вторую производную от функции
Указание
Найдите вначале первую производную данной функции, а затем воспользуйтесь тем, что
Решение
Ответ: 
Задача 2.
Найти вторую производную от функции
При Х = 1.
Указание
Найдите вторую производную по формуле
А затем вычислите ее значение при Х = 1.
Решение
Ответ: 
Задача 3.
Найти производную 4-го порядка от функции
Указание
Воспользуйтесь тем, что
Решение
Ответ: 
Задача 4.
Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
Указание
Воспользуйтесь тем, что
Решение
Вычислим подряд производные 1-го, 2-го, … порядка от данной функции и попробуем определить вид зависимости выражения для П-й производной от ее порядка.
Ответ: 
Задача 5.
Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
Указание
Для упрощения воспользуйтесь формулами приведения:
Решение
Ответ: 
Задача 6.
Найти вторую производную 
для функции, заданной параметрически:
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ: 
Задача 7.
Найти D3Y для функции У = Х5.
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ: 
Задача 8.
Вычислите производную:
Указание
Воспользуйтесь формулой Лейбница:
Решение
Пусть
Тогда
Применяя формулу Лейбница, получим:
Ответ: 
Задача 9.
Рассматриваются функции
Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля?
Указание
По условию теоремы Ролля функция Y = F(X)
4) непрерывна на отрезке [Ab];
5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:
Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;
Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;
3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;
Функция Y = ln cos X определена и непрерывна на заданном отрезке;
Существует на всем отрезке;
Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.
Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.
Ответ: 4.