1 Проверить, удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля функция:
?
Решение. Преобразуем данную функцию к виду
.
Отсюда 
. Поэтому теорема Ролля применима на отрезках 
, 
и 
. Поскольку данная функция представляет собой многочлен, то она определена и непрерывна на каждом из отрезков. Найдем производную:
.
Очевидно, что для любых 
функция 
дифференцируема на соответствующих интервалах. Таким образом, теорема Ролля справедлива на отрезках , и .
2 Доказать, что уравнение 
не может иметь два различных действительных корня на интервале 
.
Решение. Предположим, что уравнение имеет два различных действительных корня 
и 
на данном интервале.
Рассмотрим функцию 
.
Тогда 
. При этом данная функция определена, непрерывна (как элементарная) на 
и дифференцируема на 
. Следовательно, по теореме Ролля существует точка 
такая, что 
.
С другой стороны, 
. Отсюда уравнение имеет единственный корень в точке 
, которая не принадлежит интервалу . Получили противоречие. Значит, уравнение не может иметь два различных действительных корня на .
3 Доказать, что 
, 
.
Решение. Рассмотрим функцию 
на отрезке .
Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому по формуле Лагранжа
,
Где 
.
Поскольку 
, то .
4 Записав формулу Коши для функций 
и 
на отрезке 
, найти значение 
.
Решение. Данные функции определены и непрерывны на отрезке , а также дифференцируемы на интервале 
:
, 
При этом 
.
Тогда по теореме Коши существует такая точка 
, что имеет место формула Коши
.
Подставляя, получим 
.
Решая данное уравнение относительно , находим
, 
.
5 Используя правило Лопиталя, вычислить пределы
А) 
; г) 
; ж) 
;
Б) 
; д) 
; и) 
;
В) 
; е) 
; к) 
.
Решение. а) имеем:
.
Б) имеем:
.
В) имеем:
.
Вычислим предел 
:
.
Тогда
.
Г) имеем:
.
Д) имеем:
.
Вычислим предел
.
Тогда
.
Е) имеем:
=
=
= 
=
.
Ж) имеем:
.
И) имеем:
.
К) имеем:
.