47. Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция

Свойства логарифмической функции

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули: функция обращается в нуль при X = 1.

6. Промежутки знакопостоянства: Если то функция положительна для отрицательна для если то функция положительна для отрицательна для

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для если возрастает для

9. Асимптоты: прямая X = 0 (ось Oy) – вертикальная асимп­тота.

10. График функции для изображен на рис. 6.9, а для на рис. 6.10.

 

Рис. 6.9 Рис. 6.10

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция если является обратной для функции при

Функция если является обратной для функции при

Пример 1. Определить знак числа:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1) Поскольку основание логарифма больше 1 (А = 7) и значение, стоящее под знаком логарифма, больше 1 (B = 35), то из свойств логарифмической функции

2) Для основания логарифма имеем и для выражения, стоящего под знаком логарифма, выполняется Поэтому

3) Так как основание логарифма 5 и 5 > 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, равно и то

4) Для основания логарифма выполняется а под знаком логарифма число 19 (19 > 1). Поэтому

Пример 2. Сравнить числа:

1) и 2) и

3) и 3.

Решение. 1) Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому

Тогда

2) Рассмотрим числа и Так как

и

то

следовательно,

3) Известно, что или

Если A ³ 0, B ³ 0.

В нашем случае тогда

Т. е.

Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то

Пример 4. Найти функцию, обратную функции Построить графики обеих функций в одной системе координат.

Решение. Найдем функцию, обратную данной:

Построим графики функций:

А) строим график функции график функции переносим параллельно на две единицы вправо по оси Ox и на две единицы вниз по оси Oy;

Б) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис. 6.11).

Рис. 6.11