Вар.5
Задача 1: Найти область определения функции 
. Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции 
, т. е. границей области будет окружность 
. Область определения данной функции состоит из внутренних точек окружности, включая точки, лежащие на окружности.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал 
Задача 3: Вычислить значения частных производных 
функции 
в точке 
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции 
, где 
при 
При 
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции 
, заданной неявно, в заданной точке 
; 
В точке 
: 
Задача 6: Найти градиент функции 
и производную по направлению 
в точке
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 
в точке 
Поверхность задана неявно 
; 
; 
Уравнение касательной плоскости: 
Уравнение нормали: 
Задача 8: Найти вторые частные производные функции 
. Убедиться в том, что 
; 
Значит 
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению:
; 
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Следовательно, функция не удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум 
; 
Система имеет три решения:
а) X=0, Y=0 
Т.
- стационарная точка
; 
; 
; 
и
т.- т. минимума 
б) 
т.
- стационарная точка
; 
; 
в т.- нет экстремума
в) 
т.
- стационарная точка
; 
; 
в т. - нет экстремума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
, ограниченной заданными линиями 
1) 
Т.
- стационарная точка
; 
; 
В т. - нет экстремума
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона АВ:
т.
- стационарная точка на
стороне АВ 
б) сторона ВС:
т.
- стационарная точка
на стороне ВС 
в) сторона АС: 
на АС стационарная
точка
: 
;
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции 
при 
не обращается в нуль ни в одной точке прямой
Составим функцию Лагранжа: 
; 
, т. е. т.
- стационарная точка
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1) 
В т. 
функция имеет условный минимум в
Т. и 
2) Рассмотрим т. при
. Имеем 
;
В т.: 
. 
Значит:
т. - точка условного минимума