Вар.4
Задача 1: Найти область определения функции 
. Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции 
, т. е. границей области будет окружность 
. Область определения данной функции состоит из внутренних точек окружности, не включая точек на самой окружности.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал 
Задача 3: Вычислить значения частных производных 
функции 
в точке 
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции 
, где 
при 
При 
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции 
, заданной неявно, в заданной точке 
или 
; 
В точке : 
Задача 6: Найти градиент функции 
и производную по направлению 
в точке
; 
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 
в точке 
Поверхность задана неявно 
; 
; 
Уравнение касательной плоскости: 
Уравнение нормали: 
Задача 8: Найти вторые частные производные функции 
. Убедиться в том, что 
; 
;
;
;
;
;
Значит 
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция 
Уравнению:
;
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Правая часть уравнения тождественно равна левой части,
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум 
; 
Т.
- стационарная точка
и 
т. - точка максимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
, ограниченной заданными линиями 
1) 
Т.
- стационарная точка
; 
; 
и 
т.- точка
минимума; 
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона 0А:
на 0А стационарная
точка;
б) сторона АВ:
на АВ стационарная
точка 
: 
;
в) сторона ВС:
на ВС стационарная
точка
;
В т. В:
И в т. С : 
б) сторона С0:
на С0 стационарная
точка;
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции 
при 
не обращается в нуль ни в одной точке окружности
Составим функцию Лагранжа: 
; 
Система имеет 2 решения:
1) 
, т. е. т.
2) 
, т. е. т.
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1) 
При 
Функция имеет условный максимум в т.И
;
При 
Функция имеет условный минимум в т. и 
;
2) Рассмотрим т. 
при. Имеем 
; 
; 
При 
.
Значит:
т. - точка условного максимума
Рассмотрим т. при. Имеем
; 
; 
При 
.
Значит:
т.
- точка условного минимума