Вариант № 16

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Получим: . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: или . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=3/2. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и или . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда

М. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём . Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение:. Следовательно, . Общие решение уравнения . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=1. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. .

Найдём частные производные:

, . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что

и . Проинтегрируем второе уравнение по Y:

. Таким образом, , где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену . Тогда . Получим однородное уравнение первого порядка: . Положим . Подставим в уравнение: . Или . Вернёмся к переменной : Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Решим систему методом Крамера: . Интегрируя, получаем:

. Следовательно, решением неоднородного уравнения будет

. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2=С4. Окончательно, . Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение четвёртого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение , или , имеет четыре корня: . Получаем четыре частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х2 обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::, . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему уранений, получим: . Частное решение уравнения будет . Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::

, . Подставим это в исходное уравнение:

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: . Или: . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Или . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Или Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Оба равенства возможны только при . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Вычитая из первого уравнения третье, получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: .

11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(9; 9) и обладающей свойством, что угловой коэффициент любой касательной вдвое меньше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен . Угловой коэффициент радиус-вектора точки касания равен . По условию задачи . Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: . Разделяем переменные и интегрируем: . Найдём C, учитывая, что кривая проходит через точку М(9, 9): . Таким образом, . Ответ: .

12. Лодка весом 300 кг движется прямолинейно с начальной скоростью 16 м/с. Допуская, что сопротивление воды пропорционально скорости лодки и равно 10 кг при скорости 1м/с, определите, какое расстояние пройдёт лодка, прежде чем её скорость станет 8 м/с.

Пусть скорость лодки к моменту времени T равна V(T). Тогда, по условию задачи, , где K –коэффициент пропорциональности. Найдём этот коэффициент. При сопротивление движению лодки равно 10 кг, т. е. . Известно, что , где - вес лодки. Таким образом, , где . Решим уравнение: . В момент скорость была равной V0=16. Тогда . Определим время, через которое скорость лодки станет равной 8. . Найдём путь, пройденный лодкой к этому времени: . Подставляя сюда , получим: . Ответ: 25 м.

< Предыдущая		Следующая >