Вариант № 15
В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.
1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену
Тогда
. Получим уравнение
, или
. Разделяем переменные:
. Интегрируем уравнение:
. Получим:
или
. Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X:
. Определим постоянную С из начальных условий:
, отсюда C=π. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение:
. Ответ:
.
2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями
и
. Решим первое уравнение:
или
. Отсюда
(произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим:
. Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его:
или
. Тогда
. Таким образом, общее решение имеет вид:
. Найдём C, исходя из начальных условий:
. Тогда
. Таким образом, частное решение есть
. Ответ:
.
3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение:
или
. Отсюда находим
. Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет
такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём
.
Тогда . Или
. Разделяем переменные:
. Интегрируем уравнение:
. Следовательно,
. Общие решение уравнения
. Воспользуемся начальными условиями:
, т. е. C1=−1/2. Тогда частным решением будет
. Ответ:
.
4. .
Найдём частные производные: ,
. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что
и
. Проинтегрируем второе уравнение по Y:
. Таким образом,
, где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны
. С другой стороны,
. Приравнивая эти выражения, получим:
. Отсюда,
. Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае
. Ответ:
.
5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену
. Тогда
. Получим уравнение Бернулли:
. Решим его методом Бернулли:
. Функцию U найдём из уравнения
. Или
. Функцию V найдём из уравнения
. Подставляя сюда функцию U, получим:
. Или
Таким образом,
. Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием
:
. Следовательно,
. Тогда
. Или
. Определим C2, пользуясь вторым начальным условием
:
. Окончательно,
. Ответ:
.
6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения
Характеристическое уравнение
имеет два равных корня:
. Получаем два частных решений:
. Общее решение однородного уравнения имеет вид:
. Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х:
. Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений:
, где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему:
. Поделим все уравнения на
:
. Решим систему методом Крамера:
. Интегрируя, получаем:
. Следовательно, решением неоднородного уравнения будет
. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С3=С1 и С4-1=С2. Окончательно,
. Ответ:
.
7. . Линейное неоднородное уравнение пятого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения
Характеристическое уравнение
, или
, имеет пять корней:
. Получаем четыре частных решений:
. Общее решение однородного уравнения имеет вид:
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части:
. Здесь множитель Х4 обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн::
. Подставим это в исходное уравнение:
. Отсюда находим
. Или
. Следовательно,
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:
.
Ответ: .
8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения
Характеристическое уравнение
имеет два корня:
. Получаем два частных решения:
. Общее решение однородного уравнения имеет вид:
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части:
. Найдём производные YЧн::
,
. Подставим это в исходное уравнение:
. Отсюда находим
или
. Следовательно,
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:
. Воспользуемся начальными условиями:
. По первому условию
. Найдём
. Тогда, по второму условию,
. Решая систему уранений, получим:
. Частное решение уравнения будет
.
Ответ: .
9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения
. Характеристическое уравнение
имеет два корня:
. Получаем два частных решения:
. Общее решение однородного уравнения имеет вид:
. Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части:
. Найдём производные YЧн::
,
. Подставим это в исходное уравнение:
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим:
. Или:
. Следовательно,
. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:
.
Ответ: .
10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где
- функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях
:
.
Запишем систему по исходным данным:
. Ищем решение в виде
. Тогда
. Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты
:
. Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы:
. Раскроем определитель:
. Или
. Следовательно,
. При
получим систему:
. Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим
. Положим
. Тогда
. Получили первое частное решение:
. При
получим систему:
. Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим
. Положим
. Тогда
. Получили второе частное решение:
.
При получим систему:
. Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим
. Положим
. Тогда
. Получили третье частное решение:
. Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений:
.
Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Вычитая из первого уравнения второе, затем из первого уравнения третье, получим:
. Следовательно,
. Таким образом, частное решение системы следующее:
. Ответ:
.
11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(3; 4) и обладающей свойством, что отрезок, отсекаемый любой касательной на оси ординат, равен удвоенному модулю радиус-ыектора точки касания.
Уравнение касательной к кривой в точке
имеет вид
. Найдём точки пересечения касательной с осью ОУ. Положим X=0. Тогда
или
. Точка М1
является точкой пересечения оси ОУ. По условию задачи
. Это равенство справедливо для любой точки
. Заменим эту точку произвольной точкой
, лежащей на кривой
. Получим:
, или
, или
. Это однородное уравнение. Положим
. Тогда
. Или
. При знаке «+» получим:
. Найдём C, учитывая, что кривая проходит через точку М(3, 4):
. Таким образом,
. При знаке «-» получим:
. Найдём C, учитывая, что кривая проходит через точку М(3, 4):
. Таким образом,
.
Ответ: .
12. Во фляжку ёмкостью 1 л по трубке втекает кислород, и смесь с находившимся там воздухом, равномерно перемешиваясь, вытекает через другую трубку. Считая, что в нормальном состоянии воздух содержит 21% кислорода, найдите процент кислорода во фляжке после того, как сквозь неё протечёт 5 л газа.
Пусть доля кислорода в смеси, если во фляжку втекло
л кислорода. Тогда
, где V – объём фляжки. Пусть во фляжку поступило дополнительно
л кислорода, при этом вытекло
л смеси. Вместе со смесью вытекло
л кислорода. Следовательно, доля кислорода станет равной
. Приращение доли кислорода составит величину
. Поделив на
и перейдя к пределу при
, получим:
. Так как V =1, то
. Решим уравнение:
При
доля кислорода была равной 0,21. Тогда
. После протекания 5 л газа, получим:
, что составляет 99,5%. Ответ: 99,5%.
< Предыдущая | Следующая > |
---|