Вариант № 13

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Получим: . Потенцируя, получим: . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Определим постоянную С из начальных условий: . Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и или . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём .

Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение:. Следовательно, . Общие решение уравнения или . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=0. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. .

Найдём частные производные: ,

. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что

и . Проинтегрируем первое уравнение по X:

. Таким образом, , где φ(Y) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь вторым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная X. Сделаем замену . Тогда . Получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или (решение не удовлетворяет начальным условиям). Разделяем переменные и интегрируем уравнение: . Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, или . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два равных корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений:

, где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Поделим все уравнения на : . Решим систему методом Крамера:

. Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С3=С1 и С4-1=С2. Окончательно, . Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение четвёртого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение , или , имеет четыре корня: . Получаем четыре частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: , . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему уранений, получим: . Частное решение уравнения будет .

Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::

,. Подставим это в исходное уравнение:

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: . Или: . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Или . Тогда . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 2, получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: .

11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведённой в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдём точки пересечения касательной с осью ОХ. Положим Y=0. Тогда или . Точка М1 является точкой пересечения оси ОУ. По условию задачи . Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: , или , или . Разделяем переменные: . Для знака «+» получаем: . Интегрируя, получим: . Найдём C, учитывая, что кривая проходит через точку : . Таким образом, . Для знака «-» получаем: . Интегрируя, получим: . Это решение не удовлетворяет начальному уловию (не может проходить через точку ). Ответ: .

12. По закону радиоактивного распада количество вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в данный момент. Известно, что за 30 дней распалось 50% первоначального количества вещества. Через сколько времени останется 1% вещества?

Пусть количество вещества к моменту времени T равно V(T). Тогда, по условию задачи, , где K – некоторый коэффициент пропорциональности. Решим уравнение: Пусть в момент количество вещества было равно V0. Тогда . Известно, что за 30 дней количество уменьшилось в два раза, т. е. . Отсюда находим: . Тогда . Положим . Получим . Следовательно, . Ответ: 200 дней.

< Предыдущая		Следующая >