Вариант № 12

Задача 1.Найти общее решение дифференциального уравнения.

, (1) – уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируя обе части уравнения, получим:

Общее решение уравнения (1): , где:

Задача 2.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Найдем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Интегрируя обе части уравнения, получим:

Общее решение уравнения

Подставляем в полученное решение начальное условие:

Значит, искомое частное решение:

Задача 3. Решить дифференциальное уравнение (1)

Применим подстановку

Тогда:

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения

В результате общий интеграл уравнения имеет вид:

Подставляя значение , получим общий интеграл уравнения (1):

Задача 4. Решить дифференциальное уравнение (1)

Составим определитель

Положим , гдеОпределяются из системы уравнений:

Положим в уравнении (1) ; Получим:

Применим подстановку

Тогда:

Интегрируя обе части уравнения, получим:

Учитывая, что ,

Запишем общее решение уравнения (1):

Задача 5.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Общее решение этого уравнения:

Применим метод вариации постоянных:

Дифференцируем Y По X:

Подставляем полученные значения в уравнение (1):

Общее решение линейного неоднор. дифф. уравнения 1-го порядка

Подставляем в полученное решение начальное условие:

Значит, искомое частное решение:

Задача 6. Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Ищем общее решение уравнения Бернулли: (1)

Применим подстановку

Подставляем в уравнение (1):

(2)

Требуем выполнения условия:

Подставляя полученное выражение в уравнение (2), получим:

Следовательно, общее решение уравнения Бернулли (1):

Подставляем в полученное решение начальное условие:

Значит, искомое частное решение:

Задача 7. Найти общий интеграл Дифференциального уравнения.

(1)

Так как , значит, мы имеем уравнение в полных дифференциалах

Находим

Общий интеграл Дифференциального уравнения:

Задача 8. Определить тип дифференциального уравнения, найти общее решение и построить интегральную кривую, проходящую через точку .

- Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Общее решение однородного уравнения:

Применим метод вариации постоянных:

Следовательно, общим решением является семейство кривых:

Из условий в точке М найдем:

Отсюда искомая интегральная кривая:

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение (1) - явно не содержит

Полагая , имеем , тогда уравнение (1) принимает вид:

– уравнение с разделяющимися переменными относительно .

Общее решение этого уравнения:

Задача 10. Найти решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям.

Ищем общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка:

Положим ,

Тогда уравнение преобразуется к виду:

Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Метод вариации постоянных

Подставляем в неоднородное уравнение:

Значит:

Из условий и Имеем:

Значит:

Из условия имеем

Значит, имеем частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям:

Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение однородного уравнения (1) имеет вид: .

Задача 12. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

(1)

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение уравнения (1) имеет вид: .

Продифференцируем

Из указанных условий имеем:

Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: ;

где - общее решение однородного уравнения, а функция - частное решение неоднородного уравнения.

Так как степень правой части совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Подставляем частное решение в уравнение (1) и находим неопределенные коэффициенты:

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Применим принцип наложения решений (суперпозиции).

Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: ;

где - общее решение однородного уравнения, а функции - частные решения следующих уравнений: ; ;

Причём частные решения ищем в виде: ,

Подставляем поочередно частные решения в соответствующие уравнения и находим неопределенные коэффициенты:

;

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):

Задача 15. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.

Найдем решение линейного неоднородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

(1)

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение однородного уравнения (1) имеет вид: .

РЕшение линейного неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных: , а неизвестные функции определяем из системы уравнений:

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):

Продифференцируем полученное решение

Из условия имеем:

Из условия имеем:

Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:

Задача 16. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное неоднородное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (многочлен)

Ищем решение линейного однородного уравнения 4 порядка с постоянными коэффициентами:

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Частное решение Ищем в виде: ;

Подставляем в неоднородное уравнение (1):

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):

Задача 17. Найти общее решение уравнения Эйлера: (1)

Введем новую независимую переменную .

Положим , тогда

Подставим в уравнение (1) и получим

(2) - линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами (3)

Характеристическое уравнение:

общее решение однородного уравнения (3) имеет вид: .

Структура общего решения неоднородного уравнения (2) имеет вид: ;

где - общее решение однородного уравнения, а функция - частное решение неоднородного уравнения:

Частное решение ищем в виде:

Подставляем частное решение в уравнение (2) и находим неопределенные коэффициенты:

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (2):

Значит, Общее решение уравнения Эйлера (1):

Задача 18. Решить систему дифференциальных уравнений

(1)

Дифференцируя первое уравнение по , получим:

При

Подставим полученное выражение для во второе уравнение:

Где:

< Предыдущая		Следующая >