Вариант 09

Вариант 9

1) Разложить в ряд Фурье функцию , заданную с помощью графика. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.

Функцию, заданную графиком, можно представить в виде:

Разложим функцию В ряд Фурье с периодом:

;

;

;

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва:

2) Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию, определенную на заданном интервале.

Продолжим функцию четным образом до периода :

;

;

;

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва:

3. Решить задачу Штурма – Лиувилля . Найти собственные функции, проверить их ортогональность.

Разложить функцию в ряд по собственным функциям.

Решение задачи Штурма – Лиувилля ищем в виде:

Характеристическое уравнение

1)  - кратный корень.

Общее решение имеет вид: ,

Граничные условия: при

2)

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

3) 

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

;

Система собственных функций , где

Проверка на ортогональность собственных функций

Система собственных функций ортогональна.

Разложим в ряд по собственным функциям :

Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: ,

Где

Значит

4. Решить задачу о свободном колебании струны длины м с заданными краевыми условиями ; . Вычислить приближённое отклонение середины струны при сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции . Положить .

;

Решение

Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны , не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям: и начальным условиям И представимое в виде произведения.

Подставляем его в исходное уравнение

Отсюда

Следовательно: Граничные условия

При имеем задачу Штурма – Лиувилля для X(x):.

Решение ищем в виде:

Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид:

Граничные условия: - тривиальное решение

2) , где - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

3) , - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Если

При этом пусть С1=1, тогда , при .

Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:

Частное решение уравнения свободных колебаний струны:

Общее решение имеет вид:

Начальные условия Значит

Разлагаем в ряд Фурье по синусам на промежутке :

Где:

Сравнивая ряды, видим:

Общее решение представится в виде:

Приближённое отклонение середины струны в момент времени :

;

< Предыдущая		Следующая >