04.09. Теорема Лапласа

Пусть задана квадратная матрица Ann. Выберем в матрице A K-строк I1, i2, …, ik И K-столбцов J1, j2, ... jk. Определитель матрицы образованной элементами, стоящими на пересечении выбранных столбцов и строк Называется минором KГо Порядка и обозначается . Если из матрицы А вычеркнуть выбранные строки и столбцы то определитель оставшейся матрицы называется минором дополнительным к минору И обозначается .

Величина Называется алгебраическим дополнением к минору И обозначается .

18°. Теорема Лапласа.

DetA = .

Суммирование здесь производится по всем минорам KГо порядка, стоящим в выбранных K-строках или в выбранных K–столбцах. ◀ ▶

Пример. Вычислить следующий определитель раскрывая его по минорам второго порядка, стоящим во второй и третьей строках определителя:

Существует шесть различных миноров второго порядка, стоящих в указанных строках:

M12= ; M13= ; M14= ; M23= ; M24= ; M34= .

Дополнительные к ним миноры:

; ; ; ; ; .

Найдем соответствующие алгебраические дополнения:

A12 = (-1)2+3+3+4 M34 = M34; A13 = (-1)2+3+2+4 M24 = -M24; A14 = (-1)2+3+2+3 M23 = M23; A23 = (-1)2+3+1+4 M14 = M14; A24 = (-1)2+3+1+3 M13 = -M13; A34 = (-1)2+3+1+2 M12 = M12.

Теперь, используя теорему Лапласа, можно записать:

D = M12A12 + M13A13 + M14A14 + M23A23 + M24A24 + M34A34 = M12M34 - M13M24 + M14M23 + + M23M14 - M24M13 + M34M12 = 2 ( M12M34 - M13M24 + M14M23 ) = 2 (-13×54+12×45-9×11) = -522.

< Предыдущая		Следующая >