Смешанным произведением векторов 
, 
и 
называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов 
и 
на вектор .
Алгебраические свойства:
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей, т. е.
2. Смешанное произведение не меняется при перестановке знаков скалярного и векторного произведения, т. е.
3. Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух соседних векторов-сомножителей.
Геометрические свойства:
1. Критерий компланарности векторов: , и 
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю
2. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах.
Выражение в декартовых координатах:
Если 
, 
и 
, то
Двойным векторным произведением векторов 
, 
и 
называется вектор, равный векторному произведению вектора на результат векторного произведения векторов 
и 
.
Для любых перемножаемых векторов справедлива формула:
