1.6. Кооперативные игры

Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре N игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N ={1, 2, ..., N}, а через K – любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из R игроков, равно числу сочетаний из N по R , то есть , а число всевозможных коалиций равно

= 2n – 1.

Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования этих игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом N. Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из n игроков.

Функция u, ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш u(K), называется характеристической функцией игры. Так, например, для бескоалиционной игры N игроков u(K) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных N\K игроков, образующих другую коалицию (второй игрок).

Характеристическая функция u называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1. Если характеристическая функция u простая, то коалиции K, для которых u(K)=1, называются выигрывающими, а коалиции K, для которых u(K) = 0, – проигрывающими.

Если в простой характеристической функции u выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R, то характеристическая функция u, обозначаемая в этом случае через uR, называется простейшей.

Содержательно простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).

Более сложным является пример оценки результатов голосования в Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они.

Простейшая характеристическая функция появляется, когда в голосующем коллективе имеется некоторое “ядро”, голосующее с соблюдением правила “вето”, а голоса остальных участников оказываются несущественными.

Обозначим через uG характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами :

Персональность

uG(Æ) = 0,

Т. е. коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;

Супераддитивность

uG(KÈL) ³ uG(K) + uG(L), если K, L Ì N, KÇL ¹ Æ,

Т. е. общий выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;

Дополнительность

uG(K) + u(N\K) = u(N)

Т. е. для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков.

Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через Xi выигрыш I-Го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности

xi ³ u( i ), для i ÎN

Т. е. любой игрок должен получить выигрыш в коалиции не меньше, чем он получил бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых, должно удовлетворяться условие коллективной рациональности

= u(N)

Т. е. сумма выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем u(N), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем u(N), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть).

Таким образом, вектор X = (X1, ..., Xn), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции u.

Система {N, u}, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3) в условиях характеристической функции, называется классической кооперативной игрой.

Из этих определений непосредственно вытекает следующая

Теорема. Чтобы вектор X = (X1, ..., Xn) был дележём в классической кооперативной игре {N, u}, необходимо и достаточно, чтобы

xi = u( i ) + ai, (iÎN)

Причём

ai ³ 0 (iÎN)

= u(N) –

В бескоалиционных играх исход формируется в результате действий тех самых игроков, которые в этой ситуации получают свои выигрыши. Исходом в кооперативной игре является делёж, возникающий не как следствие действия игроков, а как результат их соглашений. Поэтому в кооперативных играх сравниваются не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи, и сравнение это носит более сложный характер.

Кооперативные игры считаются существенными, если для любых коалиций K и L выполняется неравенство

u(K) + u(L) < u(KÈL),

Т. е. в условии супераддитивности выполняется строгое неравенство. Если же в условии супераддитивности выполняется равенство

u(K) + u(L) = u(KÈL),

Т. е. выполняется свойство аддитивности, то такие игры называются несущественными.

Справедливы следующие свойства :

1) для того чтобы характеристическая функция была аддитивной (кооперативная игра – несущественной), необходимо и достаточно выполнение следующего равенства:

= u(N)

2) в несущественной игре имеется только один делёж

{u(1) , u(2) , ... , u(n) };

3) в существенной игре с более чем одним игроком множество дележей бесконечно

( u(1) + a1 , u(2) + a2 , ... , u(n) +an )

Где

ai ³ 0 ( i Î N ) , u(N) —> 0

Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией u называется стратегически эквивалентной игрой с тем же множеством игроков и характеристической функцией u1 , если найдутся такие К > 0 и произвольные вещественные Ci ( IÎN ), что для любой коалиции К Ì N имеет место равенство:

u1(K) = k u (K) +

Смысл определения стратегической эквивалентности кооперативных игр (с. э.к. и.) состоит в том что характеристические функции с. э.к. и. отличаются только масштабом измерения выигрышей K и начальным капиталом Ci . Стратегическая эквивалентность кооперативных игр с характеристическими функциями u и u1 обозначается так u~u1. Часто вместо стратегической эквивалентности кооперативных игр говорят о стратегической эквивалентности их характеристических функций.

Справедливы следующие свойства для стратегических эквивалентных игр:

1. Рефлексивность, т. е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе u~u.

2. Симметрия, т. е. если u~u1, то u1~u.

3. Транзитивность, т. е. если u~u1 и u1~u2, то u~u2.

Из свойств рефлексивности, симметрии и транзитивности вытекает, что множество всех характеристических функций единственным образом распадается на попарно непересекающиеся классы, которые называются классами стратегической эквивалентности.

Отношение стратегической эквивалентности игр и их характеристических функций переносится на отдельные дележи: пусть u~u1, т. е. выполняется (5), и x = (X1, ..., Xn) – дележи в условиях характеристической функции u; рассмотрим вектор X1 = (, ..., ) , где = K Xi+Ci ; для него выполняется сотношение

= k xi + Ci ³ k u( i ) + Сi = u1( i );

Т. е. выполняется условие индивидуальной рациональности, и

== k+= k u(N) += u1(N)

Т. е. выполняется условие коллективной рациональности. Поэтому вектор является дележом в условиях u1. Говорят, что делёж X1 соответствует дележу x при стратегической эквивалентности u~u1.

Кооперативная игра называется нулевой, если все значения её характеристической функции равны нулю. Содержательное значение нулевой игры состоит в том, что в ней игроки не имеют никакой заинтересованности.

Всякая несущественная игра стратегически эквивалентна нулевой.

Определение. Кооперативная игра с характеристической функцией u имеет (0,1)-редуцированную форму, если выполняются соотношения :

u( i ) = 0 ( i Î N ),

u(N) = 1.

Теорема. Каждая существенная кооперативная игра стратегически эквивалентна одной и только одной игре в (0,1)-редуцированной форме.

Сформулированная теорема показывает, что мы можем выбрать игру в (0,1)-редуцированной форме для представления любого класса эквивалентности игр. Удобство этого выбора состоит в том, что в такой форме значение u(K) непосредственно демонстрирует нам силу коалиции S (т. е. ту дополнительную прибыль, которую получают члены коалиции, образовав её), а все дележи являются вероятностными векторами.

В игре в (0,1)-редуцированной форме дележём является любой вектор X = (X1, ..., Xn), для которого

xi ³ 0 (i Î N) = 1.

< Предыдущая		Следующая >