Пусть Y = F (K, L) — национальный доход, где F — однородная производственная функция первого порядка (F (TK, TL) = TF (K, L)), К — объем капиталовложений (производственных фондов), L — объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности K = K/L, тогда производительность труда выражается формулой
Целью задачи, рассматриваемой в этом разделе, является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени T. Поскольку любая модель базируется на определенных предпосылках, нам нужно сделать некоторые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполнены следующие предположения.
1. Имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов:
2. Инвестиции расходуются на увеличение производственных фондов и на амортизацию, т. е.
Где β — норма амортизации.
Тогда если L — норма инвестиций, то I = LY = К' + βК, или
Из определения фондовооруженности K вытекает, что
Дифференцируя это равенство по T, имеем
Подставив в это соотношение выражения (11.15) и (11.16), получаем уравнение относительно неизвестной функции K
Где функция F(K) определена по формуле (11.14).
Полученное соотношение (11.17) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными (которое является автономным). Выделим стационарное решение этого уравнения; из условия K' = 0 следует, что
Т. е. K = const — постоянная величина, являющаяся корнем этого нелинейного алгебраического уравнения.
Рассмотрим конкретную задачу: для производственной функции F(K, L) = 
Найти интегральные кривые уравнения (11.17) и стационарное решение. Из (11.14) следует, что F(k) =
, и тогда уравнение (11.17) имеет вид
Стационарное решение этого уравнения следует из равенства
Откуда получаем ненулевое частное решение уравнения (11.17): KSt = I2/(α + β)2.
Рис. 11.4
Дифференциальное уравнение (11.17) решаем методом разделения переменных:
Интегрируя это уравнение с заменой переменной = Z, получаем его общее решение в окончательном виде:
Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационарному решению (рис. 11.4): т. е. K 
KSt при T 
. Следовательно, при неизменных входных параметрах задачи L, α и β функция фондовооруженности в данном случае устойчиво стремится к стационарному значению независимо от начальных условий. Такая стационарная точка K = KSt является точкой устойчивого равновесия.