Как мы знаем, для дифференцируемой функции нескольких переменных необходимым условием экстремума является равенство нулю всех частных производных (2.16) или полного дифференциала (2.17). Для функционалов частные производные не определены, а аналогом дифференциала является вариация.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума функционала). Если варьируемый функционал J(Y) достигает экстремума на Y0(X) - "внутренней" функции области определения функционала, то вариация функционала на этой функции равна нулю: dJ(Y0(X))=0.
Под внутренней функцией мы понимаем такую, которая не лежит на границе области определения, т. е. такую, для которой вариация может быть и положительной, и отрицательной.
Доказательство теоремы 1. Пусть функционал J(Y(X)) достигает экстремума на Y0(X) - "внутренней" функции области определения функционала. Выберем функцию h(X) настолько малой, чтобы при любых малых a функции вида V(a)=J(Y0(X)+ah(X)) находились в области определения и при положительных, и при отрицательных a. Значению a=0 соответствует J(Y0(X))=V(0) - экстремальное значение. Необходимое условие экстремума функции одной переменной V(a) - это равенство нулю её производной: V(0)=0. Но по (2.33-2.34) это соответствует тому, что равна нулю вариация функционала.
Замечание 1. Эта теорема также имеет место, если функционал зависит не от одной, а от нескольких функций. Для доказательства достаточно зафиксировать все функции, кроме одной, на экстремалях. Тогда функционал будет зависеть только от одной функции, и будет достигать экстремума, когда его вариация по этой функции будет равна нулю.
Замечание 2. Эта теорема также имеет место, если функционал зависит от функции нескольких переменных. В этом случае в классе функций (2.28) функции Y0, Y и h будут зависеть от нескольких переменных.