Определение: Вещественное линейное пространство V называется Евклидовым (обозначается Е) если: I. имеется правило согласно которому для любых 
ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (X,Y).
II. Указанное правило, удовлетворяющее следующим аксиомам 
.
1) 
2) 
3) 
4) 
, причем 
Определение: Комплексное линейное пространство V называется унитарным (обозначается U), если:
I. имеется правило согласно которому для любых ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением, обозначаемое (X,Y).
II. указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам:
1) 
- т. е. сопряженное
2)
3) 
4) 
- вещественное число, такое, что , причем .
Следствие:
1) 
2) 
Примеры Евклидовых пространств (Е).
1) Множество всех геометрически свободных векторов, если 
2) Пространство An, в котором 
, здесь 
. Такое пространство часто обозначают как 
или 
.
3) В пространстве An можно положить 
, где квадратичная форма 
положительно определена.
4) Пространство C[A,B], в котором 
. Такое пространство обозначают CL2[A,B].
Пример унитарного пространства (U).
Пространство An, в котором 
, где 
, где 