RN ;Q-невырожденный параллелепипед.
Q={ (X1..,XN) : A1£X1£B1 .. AN£XN£BN }
Построим разбиение
- весь набор индексов
J(x1..xN)
S - интегральная сумма (по всем возможным индексам)
-разбиение
-промежуточные точки
Опр.: J называется пределом, если для любого E>0 $ D>0: ", " , если
D- диаметр разбиения
Если существует предел интегральных сумм, то функция интегрируема.
Для введения определения
(1) A- измеримое множество Þ A- ограничено.
A Í Q
Предположим, что J(x) задано на A.
Доопределим.
(2) A- измеримое множество.
Предположим, что 
; Аk - измеримое :Ak, An при K¹N не пересекаются.
XK Î Ak
Теорема
Функция интегрируема по первому определению Û она интегрируема по второму определению и пределы совпадают. Оказывается, что
