Определение. В математической физике Струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.
Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.
Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.
Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как
u
C
B a
A
D
0 a x x+Dx b x
На произвольный элемент длины нити (х, х + Dх) действуют две силы натяжения
и 
. При этом:
Если считать колебания малыми, то можно принять:
Тогда проекция силы На ось U:
Проекция силы на ось U:
Находим сумму этих проекций:
Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему слева.
Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:
Где r - плотность струны.
Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:
Или 
Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция U(X, T) должна еще удовлетворять Граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках X = A И X = B) и Начальным Условиям, описывающим состояние струны в момент времени T = 0.
Совокупность граничных и начальных условий называется Краевыми Условиями.
Таким образом, задача Коши состоит в Нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях
И краевых условиях
.
Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.
Функции F(X) и F(X) заданы.
Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l