Определение. Кривая обращена выпуклостью Вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется Выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется Вогнутой.
у
x
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (A, B) вторая производная функции F(X) отрицательна, то кривая Y = F(X) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.
Уравнение кривой: y = f(x);
Уравнение касательной: 
Следует доказать, что 
.
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): 
, x0 < c < x.
По теореме Лагранжа для 
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т. к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию
, следовательно, 
.
Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т. к. по условию 
То
.
Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).
Теорема доказана.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется Точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением Y = F(X). Если вторая производная F¢¢(A) = 0 или F¢¢(A) не существует и при переходе через точку х = а F¢¢(X) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при
X < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т. е. точка х = а – точка перегиба.
2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.
Теорема доказана.