1.4 Свойства определителей

При вычислении определителей полезно использовать следующие их свойства. Перечислим некоторые из этих свойств, не приводя соответствующие доказательства.

1. Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы определителя, т. е. все его строки заменить соответствующими столбцами с теми же номерами и, наоборот, все столбцы заменить соответствующими строками. Эта операция называется "транспонированием".

Пример.

Верхний индекс Т около определителя – это признак транспонирования.

2. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

Пример.

Поясним сделанный пример. Во втором столбце определителя каждый из элементов делится на 2. Поэтому эту двойку можно вынести за знак определителя, вычислить величину полученного определителя и полученную величину умножить на 2.

Это свойство можно сформулировать и так: при умножении всех элементов строки (столбца) определителя на число определитель умножается на это число.

Пример.

3. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны (или пропорциональны) элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

Пример.

В этом примере оба элемента второй строки получаются из элементов первой строки умножением на 5. Следовательно, элементы второй строки пропорциональны элементам первой строки и поэтому определитель равен нулю.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы определитель меняет знак на противоположный.

Пример.

5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число:

Здесь из 3-й строки вычли 1-ю, умноженную на 3, новый определитель разложили по 3-й строке.