Производная Фреше нелинейного оператора. Рассмотрим нелинейный оператор 
с областью определения в банаховом пространстве 
и со значениями в банаховом пространстве 
. Предположим, что оператор определён в некоторой окрестности 
точки 
.
Определение. Оператор называется дифференцируемым в точке (в смысле Фреше), если существует линейный ограниченный оператор 
, такой, что для любых 
Оператор называется производной (Фреше) оператора 
в точке и обозначается 
или 
. Можно записать в виде 
,
Где 
, 
при 
.
Определение. Если оператор дифференцируем в точке , то выражение
Называется дифференциалом Фреше, т. е дифференциал это значение на элементе 
.
Свойства.
1. 
2. 
3. 
, 
Пример.
Производная нелинейного оператора в конечномерном случае.
: 
, т. е
, 
,..,
Производная Фреше это матрица Якоби (матрица первых производных). Производная суперпозиции получается как произведение матриц.
Формула конечных приращений Лагранжа.
Теорема. Пусть оператор непрерывно дифференцируемый в окрестности точки , тогда в справедлива формула Лагранжа:
Доказательство. По формуле дифференцирования суперпозиции 
Интегрируя это тождество от 0 до 1, получим искомую формулу.
Определение. Будем говорить, что удовлетворяет на 
условию Липшица (с постоянной 
), если 
: 
Лемма 1. Пусть 
непрерывно диффренцируемый на выпуклом множестве , причём 
на , тода удовлетворяет на условию Липшица с постоянной Липшица .
Доказательство.
Оценим норму
Лемма 2. Пусть непрерывнодифференцируем на выпуклом множестве , причём
, тогда справедлива оценка 
Доказательство.
