Задача о наименьшей поверхности вращения.
Подынтегральная функция не зависит от 
.
В данном случае:
После упрощений
Интегрируется подстановкой 
, тогда 
Исключая 
, будем иметь 
- семейство цепных линий, от вращения которых образуются каноиды.
Задача о брахистохроне.
, 
Подынтегральная функция не зависит от .
После упрощений
или
Введём параметр 
- радиус крутящегося круга.
Функционалы, зависящие от производной более высокого порядка
Пример. Найти экстремаль функционала
, т. е. 
, с учётом гр. усл. 
.
Достаточное условие экстремума.
Условие Якоби.
Центральным полем экстремалей, называется семейство экстремалей, которые покрывают некоторую область и нигде не пересекаются в этой области, кроме центра.
Нетрудно получить аналитическое условие включения экстремали в центральное поле экстремалей.
(1)
Выражения 
вычисляются на конкретной экстремали и являются конкретными функциями
Экстремаль может быть включена в поле экстремалей, если уравнение (1) имеет не тривиальное решение удовлетворяющее 
и не обращающееся в ноль нигде при 
.
Замечание. Можно показать, что условие Якоби необходимо для достижения экстремума.
Предположим, что условие Якоби выполнено, это означает, что в каждой точке определён наклон центрального поля равный 
. Для определения знака приращения 
при переходе на близкую кривую, преобразуем приращение
к более удобному виду. Для этого Рассмотрим вспомогательный функционал
(2) на экстремали 
он совпадает с 
. Но с другой стороны, если мы введём функцию 
в которую превращается функционал на экстремалях поля, то дифференциал в точности совпадает с подынтегральным выражением для (2), то есть (2) не зависит от пути интегрирования соединяющий две фиксированные точки, поэтому = 
.
То есть
=
=
Функция 
называется функцией Вейерштрасса.
Достаточным, для достижения функционалом экстремума будут следующие условия.
Для слабого экстремума.
1. Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям.
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей, это условие можно заменить, на условие Якоби.
3. Функция не меняет знака во всех точках 
, близких к С и для всех 
близких к . Для минимума 
, в случае максимума 
.
Для сильного экстремума
1. Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям.
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей, это условие можно заменить, на условие Якоби.
3. Функция не меняет знака во всех точках , и для произвольных . Для минимума , в случае максимума .
Пример. Исследовать на экстремум функционал.
Экстремалями являются прямые линии.
Пучок прямых 
образует центральное поле включающее 
.
на экстремали 
и все условия слабого минимума выполнены.
Если же любое, то условия не выполнены и сильный минимум не достигается.
Функция
При исследовании на слабый экстремум 
должна сохранять знак вблизи экстремали и для 
близких к 
, а на самом деле на самой экстремали, тогда в силу непрерывности будет и вблизи.
При исследовании на слабый экстремум должна сохранять знак вблизи экстремали и для любых
Это условие носит название условие Лежандра.