Теорема 1 (Общее уравнение прямой). Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением вида:
,
Где 
— координаты текущих точек прямой;
, 
, 
— коэффициенты уравнения прямой, геометрический смысл которых следующий:
и — координаты вектора, перпендикулярного к прямой (они не равны нулю одновременно), этот вектор называется Нормальным вектором (или Нормалью) данной прямой;
— характеризует положение прямой относительно начала координат,
При = 0 прямая проходит через начало координат.
Доказательство. Пусть 
— прямая на плоскости 
, а 
— некоторый вектор, перпендикулярный к . Зафиксируем точку 
, и пусть 
— произвольная точка на (см. рис. 15).
Так как 
, то этот вектор перпендикулярен любому вектору, лежащему на . Поэтому
ó (,) = 0, где = {
,
}.
Запишем скалярное произведение в координатной форме
(,) = () + () = 0 ó 
+ 
+ (
) = 0 ó 
, где константа равна .
Таким образом, прямая на плоскости, в общем виде, описывается уравнением
Где 
. Справедливо также обратное утверждение:
Утверждение 8. Всякое уравнение вида на плоскости описывает прямую.
Пример 14. Принадлежат ли прямой 
точки 
и 
?
Решение. Координаты точек, лежащих на прямой, должны удовлетворять уравнению этой прямой. Поэтому: 
, 
.
Угол между двумя прямыми, заданными в общем виде
Пусть прямые 
и 
заданы своими общими уравнениями:
: 
,
: 
.
Угол 
между прямыми будем искать как угол между их нормалями. Имеем: 
= 
— нормальный вектор прямой , 
= 
— нормальный вектор прямой ,
. (2)
Условие параллельности двух прямых на плоскости
Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
: , где = — нормаль прямой ;
: , где = — нормаль прямой .
Тогда 
ó ó 
(см. п. 2.4.5).
Условие параллельности прямых и : ó .
Пример 15. Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
: 
, где = 
— нормаль прямой ;
: 
, где = — нормаль прямой .
Очевидно, что , так как . Действительно, 
.
Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости
Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
: , где = — нормаль прямой ;
: , где = — нормаль прямой .
Тогда ó ó (,)=0 ó 
.
Условие перпендикулярности прямых и : ó .
Пример 16. Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
: 
, где = 
— нормаль прямой ;
: 
, где = 
— нормаль прямой .
Очевидно, что , поскольку . Действительно,
(,) =
.