Пусть имеются два семейства линий. Линии одного семейства называются Ортогональными траекториями линий другого семейства, если они пересекают линии второго семейства под прямым углом.
Пусть имеется уравнение семейства линий
.
Составим систему уравнений:
Исключая произвольную постоянную 
из этой системы, найдем дифференциальное уравнение исходного семейства
. (3.7)
Угловые коэффициенты касательных к кривым заданного семейства 
и к искомым ортогональным траекториям 
должны удовлетворять в каждой точке 
условию ортогональности
.
Поскольку производная 
, 
и 
для исходного семейства удовлетворяют соотношению (3.7), то , и для семейства ортогональных траекторий должны удовлетворять дифференциальному уравнению
.
Его общий интеграл
,
Очевидно, и будет алгебраическим уравнением семейства ортогональных траекторий.
Пример 3.9. Найти ортогональные траектории семейства парабол
.
Решение. Дифференцируя это равенство по переменной , имеем
.
Отсюда
.
Подставляя это выражение для произвольной постоянной в исходное уравнение, получим
,
То есть
.
Это дифференциальное уравнение исходного семейства. Заменяя в нем на 
, найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий
.
То есть
, 
, 
.
Интегрируя последнее равенство, получим уравнение ортогональных траекторий
.
Представляя это уравнение в виде
,
Заключаем, что это семейство подобных эллипсов с полуосями 
и .