Задача 1.
Определить вид линий уровня функции
Указание
Уравнения линий уровня:
Решение
Определим вид линий, задаваемых уравнениями
Ответ: гиперболы.
Задача 2.
Дана область:
Рис. 3
И функции:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Для какой из них данная область является областью определения?
Указание
Найдите область определения каждой из данных функций, учитывая соответствующие ограничения (подкоренные выражения должны быть неотрицательными, логарифмируемые выражения – положительными, знаменатели дробей – не равными нулю, а аргумент арксинуса может принимать значения только из отрезка [0,1]).
Решение
Найдем область определения каждой из данных функций:
Эта система неравенств задает первую четверть координатной плоскости:
Рис. 4
То есть не совпадает с приведенным рисунком.
Именно эта область приведена на рисунке.
Область, ограниченная снизу осью Ох, а сверху – параболой У = х2:
Рис. 5
Точки, лежащие в первой и третьей координатных четвертях:
Рис. 6
Соответствующая область выглядит так:
Рис. 7
Ответ: приведена область определения функции
Задача 3.
Найти повторные пределы
Указание
При вычислении предела по одному из аргументов остальные аргументы выступают как параметры.
Решение
Ответ: 
Задача 4.
Найти частные производные функции
В точке (1,1).
Указание
При дифференцировании функции нескольких переменных по одному из
аргументов остальные аргументы выступают как параметры.
Решение
Ответ: 
Задача 5.
Найти частную производную по У функции
Указание
Поскольку и основание степени, и показатель зависят от У, нужно применить формулу логарифмического дифференцирования.
Решение
Ответ: 
Задача 6.
Для функции
Найти
Указание
При дифференцировании функции нескольких переменных по одному из аргументов остальные аргументы выступают как параметры.
Решение
Ответ: 1,5.