Задача 1.
Найти интервалы возрастания функции
Указание
Найдите интервалы, принадлежащие области определения функции, на которых ее производная положительна.
Решение
Область определения функции:
Найдем производную и исследуем ее знак.
С учетом области определения интервалы возрастания:
Ответ:
Задача 2.
Найти точку максимума функции
Указание
Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус.
Решение
Область определения функции: 
Найдем критические точки функции:
Критические точки.
Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:
Рис. 3
Ответ: Х = -4.
Задача 3.
Найти точку минимума функции
Указание
Не забывайте, что критическими точками функции являются не только точки, в которых производная равна нулю, но и точки, в которых производная не существует (если сама функция определена в этой точке).
Решение
Область определения функции:
Функция имеет две критические точки:
Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:
Рис. 4
При этом график функции имеет вид:
Рис. 5
Ответ: Х = 0.
Задача 4.
Найти наименьшее значение функции
На отрезке [-5,12].
Указание
Функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наименьшее значение либо на границе, либо в критической точке, расположенной внутри отрезка.
Решение
Область определения функции:
То есть на отрезке [-5,12] функция определена и непрерывна.
Найдем критические точки:
Единственная критическая точка на отрезке [-5,12]: Х = 0.
Следовательно, наименьшее значение функции может достигаться в одной из трех точек: Х = -5, Х = 0 или Х = 12.
Итак, наименьшее значение функции
На отрезке [-5,12] равно 5.
Ответ: 5.
Задача 5.
Число 12 разложить на два положительных множителя так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Указание
Найдите минимум функции
Решение
Пусть Х – один из множителей, тогда второй: 
и требуется найти точку минимума функции
Область определения функции: 
Следовательно, критические точки:
По условию множители должны быть положительными, поэтому исследуем знак производной только при X > 0:
Рис. 6
Итак,
Ответ: 