9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая образует угол с положительным направлением (рис.9) и проходит через данную точку . Выведем уравнение этой прямой, предполагая сначала, что прямая не параллельна оси . В этом случае уравнение имеет вид , (1)

Рис.9

где - угловой коэффициент прямой, а - длина отрезка, отсекаемого прямой на оси . Так как точка лежит на прямой , то ее координаты и должны удовлетворять уравнению (1), т. е.

. (2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим

(3)

Это и есть уравнение искомой прямой. Если - заданное число, то уравнение (3) представляет вполне определенную прямую.

Рис.10

Если же - переменный параметр, то это уравнение определит пучок прямых, проходящих через точку (см. рис.10); при этом называется параметром пучка.

Рис.10

Пример. Даны вершина прямого угла равнобедренного треугольника и его гипотенуза . Найти уравнения катетов.

Решение. Разрешив уравнение гипотенузы относительно , найдем ее угловой коэффициент: Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника наклонены к гипотенузе под углом . Подставляя в формулу значение И , получим уравнение для определения угловых коэффициентов катетов

Зная точку на катетах, получим их уравнения