Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).
Типы показательных уравнений и способы их решения
Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.
I тип: уравнение вида
где 
(6.2)
Имеет решение, если B > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:
Тогда
(6.3)
Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.
II тип: Уравнение вида
где 
(6.4)
По свойству равенства степеней равносильно уравнению
Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.
III тип: уравнение вида
(6.5)
Где F – некоторое выражение относительно 
Производят замену переменной 
и решают уравнение F(Y) = 0.
Если 
– корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений
IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.
Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).
Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).
Типы показательно-степенных уравнений
И способы их решения
Всюду далее F(X), G(X), H(X) – Некоторые выражения с неизвестной X, F(X) > 0.
I тип: уравнение вида
(6.6)
Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности
II тип: уравнение вида
(6.7)
Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:
т. е. 
Приходим к линейному уравнению
Откуда 
2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества: 
Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:
Пришли к ответу: 
Пример 2. Решить уравнение 
Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:
По свойству степеней: 
Получаем ответ: Х = 0.
Пример 3. Решить уравнение 
Решение. Преобразуем уравнение
Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены 
Получаем:
Корнями последнего уравнения являются значения 
Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:
Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:
т. е. 
Получили ответ: Х = 3.
Пример 4. Решить уравнение 
Решение. Выполним необходимые преобразования:
Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:
Т. е. получили квадратное уравнение относительно 
Вводим замену 
Тогда
Откуда 
Возвращаемся к старой переменной:
Получили ответ: 
Пример 5. Решить уравнение 
Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции 
(т. е. 
) и 
монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.
 |
Рис. 6.12
2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:
или 
Заменим 
Получим 
При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.
Получили ответ: Х = 2.
Пример 6. Решить уравнение 
Решение. ОДЗ: X = 2, 3, …, N, … .
Перепишем уравнение в виде
Разделим обе части уравнения на 
(так как 
). Получим:
Вводим замену 
Получаем квадратное уравнение 
откуда 
Возвращаемся к старой переменной:
Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.
Пример 7. Решить уравнение 
Решение. ОДЗ: X ¹ 2.
Решением является совокупность
Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.
Получили ответ: X = 1, X = 3.