Вариант № 24

Вывести уравнение теплопроводности для тонкого ограниченного стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована: сформулировать возможные типы краевых условий.

Определить температуру в произвольной точке х стержня в произвольный момент времени t - функцию u(x, t) в общем виде, при заданных краевых условиях, если начальные условия заданы функцией u(x,0) = f(x); решить задачу для заданной функции f(x); определить приближенно температуру стержня в точке xo в момент времени to (мин.), взяв три первых ненулевых члена ряда Фурье.

Типы краевых условий:

А) концы стержня теплоизолированы ,т. е. ,

Б) левый конец стержня теплоизолирован, а правый поддерживается при нулевой

температуре, т. е.

В) правый конец стержня теплоизолирован, а левый поддерживается при нулевой

температуре, т. е., .

Коэффициент а2 температуропроводности: медь - 11.2 ∙ 10-5;

Сталь - 1.27 ∙ 10-5;

алюминий - 8.80 ∙ 10-5.

Условия задачи

F(x) = , ,

Тип краевых условий – (в)

Материал – сталь,

Xo = , to = 45

Решение

1.  Ищем решение уравнения теплопроводности с начальным условием: u(x,0) = f(x) =

и граничными условиями:

в виде u(x, t) = X(x)T(t).

Подставляем его в исходное уравнение X(x)T′(t) = а2 X″(x)T(t).

Отсюда

Следовательно: Граничные условия

Получили задачу Штурма – Лиувилля для X(x):

.

Решение ищем в виде:

Характеристическое уравнение

1)  - кратный корень.

Общее решение имеет вид:

Граничные условия: - тривиальное решение

2) , где - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

3)  , - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Если

При этом пусть С1=1, тогда , при .

Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:

Частное решение уравнения теплопроводности:

Общее решение имеет вид:

Начальные условия =

Разлагаем f(x) в ряд по собственным функциям :

Сравнивая ряды, видим:

Общее решение представится в виде:

Приближённое значение температуры стержня в точке xo = в момент времени to = 45:

.

< Предыдущая		Следующая >