Вар.20
Задача 1: Найти область определения функции 
. Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции 
, т. е. границей области будет окружность 
. Область определения данной функции состоит из внутренних точек окружности, включая точки, лежащие на окружности.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал 
Задача 3: Вычислить значения частных производных 
функции 
в точке 
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции 
, где 
при 
; 
;
При 
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции 
, заданной неявно, в заданной точке 
; 
В точке: 
Задача 6: Найти градиент функции 
и производную по направлению 
в точке
; 
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 
в точке 
Поверхность задана неявно 
; 
; 
Уравнение касательной плоскости: 
Уравнение нормали: 
Задача 8: Найти вторые частные производные функции 
. Убедиться в том, что 
; 
;
Значит 
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению:
; 
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум 
; 
Т.
- стационарная точка
и 
т.- точка максимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
, ограниченной заданными линиями 
1) 
Система имеет два решения:
а) X=0, Y=0 
Т.
- стационарная точка
; 
; 
; 
Рассмотрим 
Окрестность точки:
1) 
2) 
Следовательно, в т.- нет экстремума
B) X=2, Y=1 т.
- стационарная точка
; 
; 
и 
т.
- т. максимума 
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона ОА:
на стороне ОА нет стационарных точек
;
б) сторона АВ:
на стороне АВ две
стационарные точки
И 
;
;
в) сторона ОВ:
на стороне ОВ нет стационарных точек
;
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции 
при 
не обращается в нуль ни в одной точке окружности
Составим функцию Лагранжа: 
; 
Система имеет 4 решения:
1) 
, т. е. т.
2) 
, т. е. т.
3) 
, т. е. т.
4) 
, т. е. т.
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1) 
При 
Функция имеет условный максимум в т. 
; и в т. и 
;
При 
Функция имеет условный минимум в т. 
; и в т. и 
;
2) Рассмотрим т. при. Имеем
; 
; 
При 
.
Значит:
т.
- точка условного максимума
Рассмотрим т. при
. Имеем 
; 
; 
При 
.
Значит:
т.
- точка условного максимума
Рассмотрим т.
при. Имеем 
; 
; 
При 
.
Значит:
т.
- точка условного минимума
Рассмотрим т. при. Имеем
; 
; 
При .
Значит:
Т. - точка условного минимума