Вар.18.
Задача 1: Найти область определения функции 
. Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции 
, т. е. Z определена всюду кроме точек, лежащих на прямой 
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал 
Задача 3: Вычислить значения частных производных 
функции 
в точке 
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции 
, где 
при 
При 
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции 
, заданной неявно, в заданной точке 
или 
; 
В точке: 
Задача 6: Найти градиент функции 
и производную по направлению 
в точке
; 
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 
в точке 
Поверхность задана неявно 
; 
; 
Уравнение касательной плоскости: 
Уравнение нормали: 
Задача 8: Найти вторые частные производные функции 
. Убедиться в том, что 
; 
Значит 
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению:
;
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум 
; 
Система имеет 4 решения:
а) X=0, Y=0 
Т.
- стационарная точка
; 
; 
; 
В т. Нет экстремума
б) 
т.
- стационарная точка
; 
; 
в т.- нет экстремума
в) 
т.
- стационарная точка
; 
; 
в т. - нет экстремума
г) 
т.
- стационарная точка
; 
; 
и 
т. - точка максимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
, ограниченной заданными линиями 
1) 
Система имеет два
решения:
а) X=0, Y=0 Т.- стационарная точка
;
; 
;
требуется дополнительное исследование
.Рассмотрим 
Окрестность этой точки в пределах области :
1) 
2) 
3) 
Следовательно, в точке 
-нет экстремума.
б) 
т.
- стационарная точка
; 
; 
и 
т. - точка минимума 
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона АВ:
на АВ стационарная
точка;
б) сторона ВС:
на ВС стационарные
точки 
И 
В т.: 
В т.
: 
и в т.
: 
в) сторона СЕ: 
на СЕ стационарные
точки 
И 
В т.: 
г) сторона ЕА:
на ЕА нет стационарных
точек
В т.
: 
и в т.
: 
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции 
при 
не обращается в нуль ни в одной точке прямой
Составим функцию Лагранжа: 
; 
, т. е. т.
- стационарная точка
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1) 
В т. 
ф-ция имеет условный минимум в т. и 
2) Рассмотрим т. при 
. Имеем 
;
В т.: 
Значит:
т. - точка условного минимума