Вар.8
Задача 1: Найти область определения функции 
. Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции 
, т. е. границей области будет окружность 
. Область определения данной функции состоит из внешних точек окружности и не включает точки на самой окружности.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал 
Задача 3: Вычислить значения частных производных 
функции 
в точке 
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции 
, где 
при 
При 
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции 
, заданной неявно, в заданной точке 
или 
; 
В точке: 
Задача 6: Найти градиент функции 
и производную по направлению 
в точке
; 
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 
в точке 
Поверхность задана неявно 
; 
; 
Уравнение касательной плоскости: 
Уравнение нормали: 
Задача 8: Найти вторые частные производные функции 
. Убедиться в том, что 
; 
;
Значит 
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению:
; 
; 
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум 
; 
Т.
- стационарная точка
и 
т. - точка минимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
, ограниченной заданными линиями 
1) 
Т.
- стационарная точка
; 
; 
и 
т.- точка
максимума, но т.
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона 0А:
на 0А стационарная
точка;
в т.0:
и в т. А : 
б) сторона АВ:
на АВ стационарная
точка 
: 
;
в) сторона ВС:
на ВС стационарная
точка
;
В т. В:И в т. С : 
б) сторона С0:
на С0 стационарная
точка
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции 
при 
не обращается в нуль ни в одной точке прямой
Составим функцию Лагранжа: 
; 
, т. е. т.- стационарная точка
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1) 
В т. 
функция имеет условный минимум в т. и 
2) Рассмотрим т. при 
. Имеем 
;
В т.: 
. 
Значит:
т.
- точка условного минимума