Вариант 6
1) Разложить в ряд Фурье функцию 
, заданную с помощью графика. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.
Функцию на графике можно представить в виде
Разложим функцию в ряд Фурье с периодом 
,
;
;
;
Сумма ряда 
: 1) в точках непрерывности: 
2) в точках разрыва: 
2) Разложить в ряд Фурье по синусам функцию:
.
Продолжаем функцию нечетным образом до периода 
:
;
;
;
Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:
2) в точках разрыва:
3. Решить задачу Штурма – Лиувилля 
. Найти собственные функции, проверить их ортогональность.
Разложить функцию 
в ряд по собственным функциям.
Решение задачи Штурма – Лиувилля ищем в виде: 
.
Характеристическое уравнение 
1)
- кратный корень.
Общее решение имеет вид: 
, 
Граничные условия: 
при 
2) 
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
Т. к. 
- тривиальное решение.
3)
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
;
Система собственных функций
.
Проверка на ортогональность собственных функций 
Система собственных функций 
ортогональна.
Разложим функцию
в ряд по собственным функциям .
Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: 
,
Где 
Значит 
4. Решить задачу о свободном колебании струны длины 
м с заданными краевыми условиями 
; 
. Вычислить приближённое отклонение середины струны при 
сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции 
. Положить 
.
;
;
;
Решение
Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны 
, удовлетворяющее однородным граничным условиям: 
и начальным условиям 
и представимое в виде произведения
.
Подставляем его в исходное уравнение 
Отсюда 
Следовательно: 
Граничные условия 
При 
получили задачу Штурма – Лиувилля для X(x):
.
Решение ищем в виде: 
Характеристическое уравнение
1) - кратный корень.
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
- тривиальное решение
2) 
, где 
- действительное число
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
Т. к. 
- тривиальное решение.
3) 
, - действительное число
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
Если 
При этом пусть С2=1, тогда 
, при 
.
Этим же значениям 
соответствуют решения уравнения 
, имеющие вид:
Частное решение уравнения свободных колебаний струны:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия 
Значит 
Разлагаем 
в ряд Фурье по синусам на промежутке 
: 
Сравнивая ряды, видим:
Общее решение представится в виде:
Приближённое отклонение середины струны 
в момент времени to =3:
;
;
;
