Глава 41. Предел и нрепрерывность. Числовые последовательности

Числовая последовательность представляет собой некоторое множество чисел, каждому из которых присвоен определенный номер. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрессий; последовательность приближенных значений числа , т. е., , , и т. д., последовательность периметров правильных N–угольников, вписанных в данную окружность и т. д.

Определение

Если каждому числу N из натурального ряда чисел 1,2,3, …, N, …, поставлено в соответствие вещественное число, то множество вещественных чисел

, , ,…,,…,…

(4.1.1)

Называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа , , ,…, будем называть Элементами или Членами последовательности (4.1.1), символ – Общим элементом или Членом последовательности, а число N – его Номером. Сокращенно последовательность (4.1.1) будем обозначать символом

Например, символ обозначает последовательность чисел .

Геометрически последовательность можно изобразить на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим членам последовательности.

Над числовыми последовательностями можно производить все арифметические операции, определяемые ниже.

Пусть даны последовательности И . Тогда

1. Суммой (Разностью) последовательностей И назовем последовательность с элементами ().

2. Произведением последовательности на число M назовем последовательность с элементами

3. Произведением последовательностей И назовем последовательность с элементами

4. Частным последовательностей И назовем последовательность С элементами , если все члены последовательности отличны от нуля.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Определение

Последовательность называется Ограниченной, если она ограниченна сверху и снизу, т. е. существуют такие числа M И M, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Пусть , тогда условие ограниченности последовательности можно записать в форме .

Определение

Последовательность называется Неограниченной, если для любого положительного числа A существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству >A, (т. е. либо >A, либо <–A).

Из выше перечисленных определений следует, что все элементы ограниченной сверху последовательности принадлежат промежутку (– ¥, M); а ограниченной снизу – лежат в промежутке (M, + ¥). Все элементы ограниченной последовательности принадлежат отрезку [M, M].

Пример

1. Последовательность является ограниченной.

2. Последовательность является неограниченной сверху, но ограниченной снизу.

3. Последовательность является неограниченной.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение

Последовательность называется Бесконечно большой, если для любого положительного числа A существует такой номер , что для всех элементов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Определение

Последовательность называется Бесконечно малой, если для любого положительного числа e существует такой номер , что для всех элементов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Теперь докажем теорему, устанавливающую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Теорема

Если – Бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность Бесконечно малая. Если все элементы Бесконечно малой последовательности отличны от нуля, то последовательность Бесконечно большая.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема

Сумма и Разность двух бесконечно малых последовательностей являются Бесконечно малыми последовательностями.

Следствие

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть Бесконечно малая Последовательность.

Теорема

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть Бесконечно малая последовательность.

Следствие

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть Бесконечно малая последовательность.

Теорема

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является Бесконечно малой последовательностью.

Следствие

Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является Бесконечно малой последовательностью.

< Предыдущая		Следующая >