7°. Нормированное пространство легко превратить в метрическое, вводя r(Х, У) = ||Х – у||. В самом деле:
◀ А) r(Х, У) = ||Х – у|| = ||(–1)(У – Х) || = |–1| ||У – Х|| = ||У – Х|| = |–1| ||У – Х|| = ||Y – X|| = r(Y, X);
В) r(Х, У) = ||Х – У|| ≥0, причем ||Х – У|| = 0 Û X – Y = θ Û X = Y;
С) r(Х, У) = ||Х – У|| = ||(X – Z) + (Z – Y)|| ≤ ||X – Z|| + ||Z – Y|| = r(Х, Z) + r(Z, У). ▶
Отметим что ||Х|| = r(Х, θ).
Обратим внимание, что метрика в линейном пространстве обладает свойствами:
А) r(Х + Z, У + Z) = r(Х, У) – расстояние не меняется при сдвиге;
В) r(λХ, λУ)= |λ|r(Х, У) – расстояние есть абсолютно однородная функция. (**)
8°. Если в метрическом линейном пространстве Х метрика удовлетворяет двум последним (**) требованиям, то Х можно превратить в нормированное пространство, вводя ||Х|| = r(Х, θ).
◀ А) ||Х|| = r(Х, θ) ≥0; ||Х|| = r(Х, θ) = 0 Û X = θ;
В) ||λХ|| = r( λХ, θ) = r(λХ, λθ) = |λ|r(Х, θ) = |λ| ||Х||;
С) ||Х – У|| = r(Х + Y, θ) = r(Х + Y – Y, θ – Y) = r(Х,– Y) ≤ r(Х, θ) + r(θ,–Y) =
= r(Х, θ) + |–1|r(Y, θ) = ||Х|| + ||У||. ▶
9°. Линейное пространство со скалярным произведением является нормированным (||Х|| = 
) и метрическим (r(Х + Y) = ||Х – У||) пространством. ◀ ▶