Дискретный случай.
Пусть X и Y - две дискретные независимые величины данного испытания и Z=X+Y. Возможное значение Z=z=x+y всегда представляет сумму двух возможных значений слагаемых X=x и Y=y. По правилу сложения
Где суммирование распространено на те пары, которые в сумме дают Z. В силу независимости X и Y
Приняв во внимание, что y=z-x
Последняя сумма 
распространяется не на все значения x, а только на такие, для которых z-x равно одному из возможных значений y.
Если условиться, что P(y=z-x)=0, если z-x не принадлежит к числу возможных значений Y, то
Аналогично
Формулы (1) и (2) определяют композицию величин X и Y.
Или
Непрерывный случай.
Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Пусть f(x, y) - двумерная плотность вероятности двумерной случайной величины XY. Плотность совместного распределения f(x, y) в силу независимости X и Y имеет вид
Рассмотрим функцию распределения случайной величины Z.
Для того, чтобы имело место событие 
Действительное число необходимо и достаточно, чтобы случайная точка Q(x, y) попала в область 1.
Тогда эта вероятность равна
Дифференцируя под знаком интеграла
