Дифференциальное уравнение первого порядка называют Линейным, если его можно представить в виде 
, содержащем неизвестную функцию 
и ее производную 
Линейным образом.
Если правая часть
уравнения Тождественно равна нулю, то линейное уравнение называют Однородным, если же 
– Неоднородным.
Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения.
1) Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.
В соответствии с методом Лагранжа сначала линейное неоднородное уравнение Заменяют соответствующим однородным уравнением 
.
Однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделенными переменными 
, путем деления на функцию При условии 
. Общий интеграл этого уравнения имеет вид 
, где функция 
является некоторой первообразной функции 
. Преобразуем общий интеграл приведенного уравнения сначала к виду 
, а затем, потенцируя, к виду 
. Освобождаясь от знака модуля, найдем общее решение в виде 
.
В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей приведенного уравнения на функцию 
, в результате чего могло быть потеряно решение 
. После подстановки функции в приведенное уравнение, мы убеждаемся, что действительно является решением. Это решение тем или иным способом должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения. В нашем случае решение можно включить в общее решение , введя вместо параметра 
произвольную постоянную 
, принимающую любые вещественные значения. Таким образом, окончательно получим решение приведенного уравнения в виде 
.
Произвольную постоянную в полученном решении заменяют на некоторую дифференцируемую функцию 
, и ищут решение исходного уравнения в форме 
. Производная этого решения имеет вид 
.
Подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции в виде 
.
Если общее решение приведенного уравнения и производные функций найдены правильно, то слагаемые, содержащие функцию , обязательно равны между собой, и мы приходим к равносильному уравнению 
. Это уравнение имеет общее решение вида 
, где функция 
есть первообразная функции 
. Подставляя полученное выражение для в решение 
, находим решение исходного линейного неоднородного уравнения в виде 
.
Пример. Решить уравнение 
.
Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция 
, то это – линейное неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим сначала соответствующее однородное линейное уравнение 
. Общее решение приведенного уравнения имеет вид 
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде 
.
Подставляя И 
в решаемое уравнение, получим 
или 
. Отсюда 
. Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид 
.
2) Метод подстановки Бернулли.
Будем искать решение нашего линейного уравнения в виде произведения двух функций, т. е. выполним подстановку 
. Это возможно, так как любую функцию 
можно тождественно представить в виде 
.
Вычислим производную 
И подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение 
. Найдем функцию 
В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение 
Относительно функции . Рассматривая метод Лагранжа, мы уже решали аналогичное уравнение 
Относительно функции. Отсюда, общее решение нашего уравнения имеет вид 
, где функция является некоторой первообразной функции . Выбирая произвольную постоянную равной единице, мы получим искомую функцию в виде 
.
Подставляя найденную функцию в уравнение , получим новое уравнение относительно неизвестной функции 
в виде 
. Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде 
, где функция – первообразная функции .
Подставляя полученные выражения для И в подстановку , находим, окончательно, решение исходного линейного, неоднородного уравнения в виде 
.
Пример. Решить уравнение 
.
Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция 
, то это – линейное, неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод подстановки Бернулли.
Подставляя функции 
и 
В исходное уравнение, получим уравнение 
. Найдем функцию В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение 
Относительно функции . Разделяя переменные и интегрируя, найдем решение в виде 
.
Подставляя найденную функцию в уравнение , и учитывая, что при второе слагаемое в левой части уравнения тождественно равно нулю, получим новое уравнение относительно неизвестной функции в виде 
. Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде 
.
Окончательно, общее решение исходного линейного уравнения имеет вид
.
Отметим, что и метод Лагранжа, и метод Бернулли имеют самостоятельное значение. В дальнейшем метод Лагранжа используется для решения дифференциальных уравнений высших порядков. Метод Бернулли, в частности, позволяет решать нелинейное уравнение специального вида 
, называемое уравнением Бернулли.