Комплексное гильбертово пространство – это линейное пространство над полем комплексных чисел 
, снабженная эрмитовой формой 
со свойствами
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
(эрмитовость).
Из 4. следует 
. Кроме того, эрмитова форма предполагается положительно определенной:
.Из неравенства
Следует неравенство Коши
,
А из него – неравенство Минковского
.
Поэтому, если длину вектора 
положить равной 
, выполнено неравенство треугольника, а В этой метрике полно. Векторы 
образуют Ортонормированный базис В , если
1. они ортогональны 
и имеют единичную длину 
.
2. любой вектор 
может быть аппроксимирован их линейной комбинацией. Для этого н. и д. 
Пусть – ортонормированный базис в , . Числа 
называются Координатами Вектора в этом базисе. Справедлива следующая теорема
1. Ряд 
сходится в к .
2. Числовой ряд 
сходится и 
3. Если 
, то числовой ряд 
абсолютно сходится и 