28. Линейные дифференциальные уравнения N-го порядка с постоянными коэффициентами

Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами любого порядка производится совершенно аналогично решению уравнений второго порядка. Мы ограничимся поэтому только самыми краткими указаниями. Начнем с уравнения N-го порядка без правой части

Где — действительные постоянные.

Характеристическим уравнением для него называется уравнение N-й степени

Имеет место следующее предложение, обобщающее для любого порядка П предложение, полученное нами для :

1) Каждому K-кратному действительному корню R характерИСтического уравнения соответствует K частных решений вида

2) Каждой паре T-Кратных комплексНО сопряжЕНных корней характеристического уравнения соответствует 2T частных решенИЙ вида

Общая сумма кратностей всех корней должна равняться степенИ Характеристического уравнения П; поэтому число всех частных решений будет в точности совпадать с порядком уравнения.

Чтобы найти общее решение заданного уравнения, нужно взять линейную комбинацию указанных частных решений.

Пример.

Характеристическое уравнение

Как легко заметить, имеет корень ; после деления на Уравнение принимает вид

Т. е.

Значит, имеем

Поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения запишется так:

Отыскание частного решения уравнения с правой частью

Где имеет вид

Производится по тем же правилам, что и для уравнений с правой частью второго порядка (п. 3.3.).

Оказывается, что уравнение имеет частное решение вида

Где — Многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов , а K — кратность, с которой входят в число корней характеристического уравнения. Если НЕ являются корнями характеристического уравнения, то K принимаем равным нулю. Если правая часть уравнения не является функцией указанного вида, то следует применить метод вариации постоянных (см. п. 3.4.).