Рассмотрим теперь линейное уравнениЕ С постоянными коэффициентами А1 и А2 и с правой частью, т. е.
. (*)
Нам уже известно (см. п. 3.1., II), что общее решение такого уравнения слагается из общего решения соответствующего уравнения без правой части и какого-нибудь частного решения уравнения с правой частью.
Поскольку общее решение уравнения без правой части мы находить умеем, то остается только найти частное решение данного уравнения (*). Сначала мы рассмотрим некоторые частные случаи, в которых решение находится методом неопределенных коэффициентов, а потом укажем и общий метод.
1. Пусть правая часть уравнения (*) имеет вид
Где Р(Х) — Многочлен. Тогда уравнение (*) имеет частное решение вида
Где Q(Х) — Многочлен той же степени, что и Р(Х), причем если число Т не является корнем характеристического уравнения 
, то K=0, а если является, то K — кратность этого корня.
Принимая решение в указанной форме, мы находим неизвестные коэффициенты многочлена Q(Х) по методу неопределенных коэффициентов.
Правило сохраняет свою силу и тогда, когда M=0, т. Е. в правой части стоит только многочлен; в этом случае надо проверить, не является ли число 0 корнем характеристического уравнения. В частных случаях многочлен Р(Х) может быть нулевой степени т. е. постоянной величиной.
Приведем примеры, которые помогут Уяснить указанныЙ прием отыскания частного решения.
Примеры.
1) 
Здесь характеристическое уравнение
Имеет двукратный корень 
. Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения будет равно
Правая часть уравнения имеет рассматриваемую форму, причем Т=0, 
. Так как число 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
Где А, В — Постоянные, подлежащие отысканию.
Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, находим:
Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства
Получим 
. Итак, частным решением заданного уравнЕНия является функция
А его общим решением — функция
.
После того, как найдено общее решение уравнения, находим по начальным условиям частное. Для этого найдем
Тогда
Отсюда 
Искомым решением будет функция
2) 
.
Здесь характеристическое уравнение
Имеет корни 
. Значит, общее решение соответствующего уравнения без правой части будет иметь вид
Правая часть имеет рассматриваемую форму, причем Р(Х)=3, т. е. является многочленом нулевой степени; число Т=2 не является корнем характеристического уравнения, поэтому K=0. Частное решение ищем в виде
,
Где А — Постоянная, подлежащая отысканию.
Тогда 
. Подставляя значения У, у' и У" в уравнение, получим:
Откуда 
Следовательно, частным решением будет функция 
а общим
3) 
Здесь левая часть уравнения такая же, как в примере 2. Поэтому общее решение соответствующего уравнения без правой части заПИшем сразу:
Так как теперь Т=1, т. Е. Т является однократным корнем характеристического уравнения, то K=1; Р(Х)=х — Многочлен первой степени. Поэтому частное решение ищем в виде
Дифференцируем дважды:
И подставляем в уравнение:
Отсюда
Т. е.
Итак, мы нашли частное решенИЕ 
, а следовательно, и общее:
2. Пусть правая часть уравнения (*) имеет вид
Если числа 
не являются корнями характеристического уравнения, то уравнение имеет частное решение вида
Если же числа служат корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид
В частных случаях, когда А=0 или B=0, решение все равно следует искать в указанном полном виде.
Примеры.
1) 
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
Значит, общее решение соответствующего уравнения без правой части запишется так:
.
Так как числа 
Не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
Дважды дифференцируем:
И подставляем в уравнение:
Приравнивая друг другу коэффициенты при 
и 
в обеих частях равенства (справа коэффициент при равен нулю), получим:
Отсюда 
, 
т. е. частным решением будет функцИЯ 
, а общим
2) 
Общее решение соответствующего уравнения без правой части мы уже нашли в п. 3.2.:
Если 
, то частное решение данного уравнения ищем в виде
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим (рекомендуеМ читателю проделать выкладки самостоятельно):
Отсюда
и 
Поэтому общее решение неоднородного уравнения таково:
Если же 
, то это решение не годится. В этом случае частное решение ищем в виде
.
Имеем:
Подставляя в уравнение, находим:
Т. е.
Откуда
Итак, функция
Является частным решением уравнения при .
Следовательно, общим решением будет
Перейдем теперь к самому общему виду правой части, при котором еще можно применять метод неопределенных коэффициентов.
3. ЕСли в уравнении (*) правая часть имеет вид
Где 
и 
— многочлены, а числа 
не являются корНЯми характеристического уравнения, то частное решение следует в виде
Где 
и 
— Многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов и 
.
Если числа являются корнями характеристического уравнения, то указанную форму частного решения следует умножить на Х.
Случай 1 получается из приведенного общего при 
, а случай 2 при 
, 
Пример. 
Здесь , 
и 
суть корни характеристического уравнения 
. Поэтому частное решение ищем в виде
Имеем:
Подставляя в уравнение, находим:
Это равенство будет тождественным только при
Отсюда
Следовательно, получаем частное решение
.
Общее решение дается формулой
.
Практически важно учесть следующее простое замечание:
Пусть правая часть уравнения 
равна сумме двух функций: 
, 
и 
суть решения уравнений С Той же левой частью, но с правыми частями, соответственно равными 
И 
; Тогда 
будет решением данного уравнения.
В самом деле,
.
Это значит, что если мы умеем найти решения уравнения, когда правыми частями его являются отдельные слагаемые заданной правой части, то мы очень просто — в виде суммы решений — находим и все ИСкомое решение.
Например, в силу ЭТого замечания уравнение (см. примеры 2, 3 подпункта 1 данного пункта)
Имеет частное решение
И, значит, такое общее решение:
