Мы видели, что понятие производной функции оказалось очень полезным для исследования функций одной переменной. Но как применить это понятие для функции двух переменных. Можно считать одну переменную постоянной и взять производную по другой – так мы получим частные производные.
Пусть функция Z=F(X; Y) определена в открытой области D и точка (X0; Y0)ÎD.
Дадим значению Х0 приращение DХ, сохраняя значение второго аргумента неизменным и равным Y0. Тогда функция F получит приращение
, которое, естественно, назвать ее частным приращением по переменной Х или частным приращением в направлении оси ОХ.
Частной производной первого порядка функции F по переменной Х в точке (Х0; Y0) называется предел отношения частного приращения DХZ функции F в точке (Х0; Y0) к приращению DХ, когда DХ®0.
Частная производственная функции Z=F(х; Y) в точке (Х0; Y0) по переменной Х обозначается чаще всего следующим образом:
Итак,
Аналогично определяется частная производная (первого порядка) функции F по переменной Y в точке (Х0; Y0):
Из определения следует, что частная производная функции Z=F(х; Y) по Х есть обыкновенная производная функции Z=F(х; Y0), рассматриваемая как функция одной переменной Х при постоянном значении другой переменной Y. Чтобы найти F’X(X0; Y0), надо взять производную от F(X; Y) по Х, считая Y постоянным, и затем, в полученном результате, заменить х на Х0, а Y – на Y0.
Обратите внимание на отличие в написании производных 
.
Пример 1. Найти F’x(3;-2), если
Решение. Пользуемся правилами вычисления обычных производных, считая Х переменной, а У постоянным:
Аналогично следует поступать при вычислении частной производной функции Z=F(X;Y) по Y. Только теперь при нахождении F’Y(X0;Y0) надо брать производную от F(X;Y) по Y, считая Х постоянным.
Пример 2. Найти F’Y(-3; -2) функции предыдущего примера.
Решение. Фиксируя Х, получим
Таким образом, приходим к следующему правилу вычисления частных производных.
Чтобы вычислить частную производную от функции Z=Zf(х;Y) по одному из ее аргументов, нужно вычислить производную от функции F по этому аргументу, считая другой аргумент постоянным.
Заметим, что если частные производные функции Z=F(X;Y) существуют в точке (х0;Y0), то они представляют собой вполне определенные конечные числа, которые мы обозначили F’X(X0;Y0) и F’Y(X0;Y0). Но может оказаться, что функция F, определенная в области D, имеет в каждой точке этой области частные производные. Тогда F’X и F’Y есть функции, определенные в области D. В этом случае функции F’X(X;Y) и F’Y(X;Y), определенные в области D, называют частными производными функциями.
Пример 3. Найти 
функции Z=Yx.
Решение. Найдем сначала частную производную функцию по Х. При дифференцировании по переменной Х данная функция Z является показательной (здесь основание степени Y постоянно).
Тогда получим
При дифференцировании по переменной Y функция Z является степенной (здесь показатель степени Х постоянен). Будем иметь:
Пусть в области D функция Z=F(X;Y) имеет частные производные 
. Естественно поставить вопрос об определении частных производных по X и Y от этих функций в точке (X0; Y0)ÎD. Так мы придем к понятию Частных производных второго порядка от функции Z=F(X; Y) в точке (X0,Y0). Таким образом, каждая из производных функций 
порождает две производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
Возможны и другие обозначения частных производных второго порядка. Например,
Частные производные, взятые по различным переменным, называются Смешанными.
Пример. Найдем частные производные второго порядка от функции
В точке (-1; 2).
Решение. Найти сначала частные производные функции первого порядка:
Дифференцируя каждую из полученных функций вторично и подставляя после этого вместо X значение –1, а вместо y значение 2, окончательно будем иметь:
Сравните между собой значения смешанных производных 
. Они совпадают. Это обстоятельство не является случайным. Частные производные, вычисленные по различным переменным и отличающиеся друг от друга лишь последовательностью производных дифференцирований, для широкого класса функций будут равны между собой.