Теорема 1.
Пусть:
1) Функция 
непрерывная в прямоугольнике 
2) Для 
выполнено условие 
(т. е. на верхней и нижней стороне прямоугольника функция 
принимает значения различных знаков). 
3) Для 
- является строго монотонной по переменной 
на всем отрезке 
Тогда существует единственная функция неявная функция 
, определяемая условием (1) (
) , непрерывная на интервале
.
Неявная функция наглядно показывается пересечением поверхности 
и плоскости 
Теорема 2.
Пусть:
1) функция 
дифференцируема в некоторой окрестности 
точки 
.
2) Пусть частная производная 
- непрерывная в точке 
.
3) Пусть
, 
.
(угадали “одну точку из решения”).
Тогда существует прямоугольник: 
целиком лежащей в окрестности 
В котором существует единственная неявная функция 
, удовлетворяющая условию (1) и дифференцируемая на интервале (x – d, x +d).
При этом производная неявной функции вычисляется по следующей формуле:
(3)
Точка 
принадлежит графику функции и производная не равна нулю.
Замечание (о порядке вычисления производной):
В формуле (3) сначала формально вычисляются производные 
, 
и лишь затем подставляется 
.
Пример 1
(1)
Доказать, что
и найти 
, 
Докажем, что 
существует (предполагаем, что 
).
Если при фиксированном 
При достаточно больших значениях 
, очевидно выполняются неравенства 
< 0 при 
при 
.
Отсюда следует, что по теореме 1 существует единственная неявная функция.
В контексте теоремы 1 прямоугольник превращается в бесконечную плоскость.
Очевидно, что 
является дифференцируемой на всей области определения.
Так как 
- непрерывная функция и если 
, то 
, т. е. выполнены условия теоремы 2.
из этого следует
Полученное соотношение позволяет вычислять значение производной в данной точке по уже известному значению самой функции в данной точке.
Формулы для вычисления производной в данной точке позволяют только (но и это не мало) по указанному значению функции в данной точке посчитать значения производных разных порядков в данной точке.
Руководство:
Вторая производная от неявной функции вычисляется как производная от первой производной.
При условии, что 
вычисляется на неявной функции.
В результате производная любого порядка должна зависеть только от значения 
в точке.
Пример 2
Найти 
(1)
Два способа :
1 – стандартный способ (смотри предыдущий пример)
2 – существует неявная функция в выражении (1); тогда (1) превращается в тождество и его можно дифференцировать по X:
(2)
Если 
то 
Для нахождения второй производной, еще раз продифференцируем соотношение (2):
учитывая, что 
получим
.
Можно восстановить функцию по формуле Тейлора, зная 
 |