Пусть рассматриваемая функция 
.
Рассмотрим некоторый единичный вектор 
, где
A, b, g - углы образованные единичным вектором 
с координатными осями декартовой системы координат.
Исследуем характер изменения функции 
, вдоль прямой с направляющим вектором . Тогда указанная прямая l, будет параметрически задаваться формулами:
Функция в направлении прямой l представляет собой сложную функцию параметра 
.
По теореме о дифференцировании сложной функции вычислим производную по направлению.
Опр. Градиентом функции в точке М называется вектор следующего вида
Тогда производная по направлению
Скалярное произведение 
на 
.
,
Где j - угол образованный вектором градиента и .
Производная по направлению принимает max значение когда cosj=1, когда направляющий вектор прямой коллинеарен градиенту. Следовательно градиент функции указывает на направление наибольшего роста функции в данной точке.
В случае двух переменных, производная по направлению вычисляется по формуле:
