В пространстве V3 каждый вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам, которые называются базисом пространства V3. Рассмотрим вопрос о построении базиса в произвольно пространстве R. Для этого повторим некоторые важные понятия.
Линейная зависимость векторов. Если X1 X2 … Xn – векторы линейного пространства R, а a1 a2 … an – произвольные числа из поля K, то выражение
A1 X1 + A2 X2 +…+ AN Xn
Называется линейной комбинацией векторов X1 X2 … Xn, а числа a1 a2 … an называются коэффициентами этой линейной комбинации. Если линейная комбинация векторов обращается в нуль тогда и только тогда, когда все ai = 0, то вектора являются линейно независимыми. В противном случае, когда
A1 X1 + A2 X2 +…+ AN Xn = 0
При условии, что хотя бы один ai = 0, вектора называются линейно зависимыми.
Вспомним, что мы доказывали, что любая совокупность векторов X1 X2 … Xn, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой. Точно также система векторов X1 X2 … Xn, содержащая совокупность линейно зависимых векторов, линейно зависима.
Наконец, докажем теорему, что векторы X1 X2 … Xn линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию оставшихся.
Другими словами, нужно доказать необходимость и достаточность. Докажем необходимость. Пусть X1 X2 … Xn линейно независимы. Тогда:
A X1 + B X2 +…+ G Xn = 0
Причем хотя бы одно из чисел a, b, …, g ¹ 0. Положим, что a ¹ 0. Тогда
(*)
А это по определению означает линейную комбинацию. Достаточность: пусть x1 является линейной комбинацией оставшихся, т. е. равенство (*) выполнено. Тогда перепишем его в виде:
Поскольку из чисел (-1), l, … , m одно не равно нулю (-1), то это означает линейную зависимость векторов x1 x2 … xn.
А) Размерность линейного пространства.
Если в линейном пространстве R существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимы, то линейное пространство называется n – мерным. Число n называется размерностью пространства. Символ размерности - dim R.
Например, пространства V3 и V2 соответственно трехмерные и двухмерные. Существуют бесконечномерные линейные пространства. Пример такого пространства – это векторы x и y из пространства С [a, b]. Их сумма и произведение имеют вид:
X = F (T) Y = J (T)
X + Y = F (T) + J (T), A X = A F (T)
В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.
Б) Базис линейного пространства.
Система { E } из n линейно – независимых векторов n – мерного пространства 
, заданных в определенном порядке, называется базисом этого пространства.
Теорема: любой вектор Х n – мерного пространства и при том единственным образом, можно разложить по базису этого пространства .
Действительно, векторы 
линейно зависимы т. к. их число равно n + 1, а по определению базиса n – мерного пространства n + 1 векторов линейно зависимы. Тогда составим выражение:
Где хотя бы одно ai будет отлично от 0. a0 ¹ 0, т. к. иначе окажется, что базисные вектора линейно зависимы. Тогда:
Т. е. можно представить 
как линейную комбинацию векторов базисных. Причем, разложение это единственно. Запишем разложение в виде:
И назовем числа x1 x2 … xn координатам вектора X в базисе . Будем писать 
.