Скалярным произведением вектора 
на вектор 
называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.
Для обозначения скалярного произведения вектора 
на вектор 
употребляется одна из записей: 
, 
.
Согласно определению имеем
. (2.18)
Очевидно, что скалярное произведение ненулевых векторов и будет равно нулю, если векторы перпендикулярны (ортогональны).
Заметим, что 
и 
.
Поэтому скалярное произведение можно записать в виде
(2.19)
Пример. Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если || = 2, || = 1, а угол между ними равен 120°.
По формуле (2.18) имеем 
.
Скалярное произведение обладает следующими Свойствами.
1. 
(переместительный закон).
2. (( + 
), ) = (, ) + (, ) (распределительный закон).
3. (,) называется Скалярным квадратом вектора , обозначается 2.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Действительно,
(,) = || ´ || ´cos 0° = ||2. (2.20)
Очевидно, (,) ³ 0, причем, (,) = 0 лишь при = 0 (нуль- вектор).
4. (, l×) = (×l, ) = l×(,) числовой множитель можно вывести за знак скалярного произведения.
Из определения скалярного произведения следует, что необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения
(,) = 0 « ^ (2.21)
(нуль-вектор считается ортогональным любому направлению).