1°. Пусть пространственная кривая задана параметрически: 
; 
где 
— дифференцируемые функции.
В тех точках 
, где 
, кривая имеет касательную. Уравнение касательной:
.
2°. Нормальной плоскостью к кривой в т. 
называется плоскость, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной.
Её уравнение:
3°. Пусть поверхность задана уравнением 
, 
— точка поверхности, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:
4°. Прямая, проходящая через т. перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.
Уравнение нормали:
.
Примеры.
А) На линии 
найти точку, касательная в которой параллельна плоскости 
Написать уравнение касательной.
Решение: по условию касательная параллельна плоскости, а значит, вектор касательной 
перпендикулярен нормальному вектору плоскости 
.
; 
.
Искомая точка имеет координаты 
; 
; 
а уравнение касательной
.
Б) Для поверхности 
найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости 
.
Решение:
Уравнение искомой касательной плоскости
,
Поскольку касательная плоскость параллельна плоскости , то координаты их нормальных векторов пропорциональны
; 
Подставляя эти соотношения в уравнение поверхности, получим
; 
, 
Таким образом, есть 2 точки, удовлетворяющие условию: 
а уравнения касательных плоскостей
1. 
1. 
В) Доказать, что касательная плоскость к поверхности 
в любой точке образует с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.
Решение:
Пусть 
— произвольная точка поверхности 
; 
; 
; 
Уравнение касательной
,
.
Отрезки, отсекаемые касательной плоскостью на осях координат, соответственно равны 
Объем тетраэдра равен 
5°. Наибольшее и наименьшее значение функции в области
Функция 
дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в стационарной точке, либо на границе области.
Для решения задачи о наибольшем (наименьшем) значении нужно:
1) Найти стационарные точки функции , попадающие внутрь области.
Для этого нужно решить систему уравнений 
.
2) Выбрать те стационарные точки, которые попали внутрь области. Вычислить значение функции в этих точках.
3) Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области. Эта задачи сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функций одной переменной.
4) Сравнивая все полученные значения, найти наибольшее и наименьшее из них.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области, ограниченной осями координат и прямой 
Решение:
Указанная область — треугольник АОВ. В соответствии с приведенной схемой решения
Находим стационарные точки функции:
, 
.
2) Точка 
является внутренней точкой области; 
.
3) Исследуем функцию на границе области:
: 
. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменой , 
.
Находим 
. Точка 
— стационарная точка этой функции; 
В граничных точках 
и 
значения функции равны 
, 
.
Аналогично на прямой 
: 
, 
, 
Точка 
— стационарная, принадлежит области 
В граничной точке 
, 
На отрезке 
прямой 
— стационарная точка, 
На концах отрезка значения функции уже вычислены.
4) Выбирая наименьшее и наибольшее из всех полученных значений, находим:
,
