Показательной функцией Называется функция
где 
Основные свойства показательной функции
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: не обладает свойством четности.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна для 
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: если 
функция возрастает для всех 
если 
– убывает для
9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке 
ось Ох не пересекает.
10. Асимптоты: прямая Y = 0 (ось Ох) является горизонтальной асимптотой.
11. График функции для A > 1 изображен на рис. 6.1, для 
– на рис. 6.2.
Рис. 6.1 Рис. 6.2
Из свойств функции следует: неравенство 
равносильно неравенствам:
1) 
если
2) 
если 
Показательная функция с основанием Е, где Е – иррациональное число Е = 2,718281…, называется Экспонентой, пишут 
или 
Через показательные выражения с основанием Е определяются Гиперболические функции.
Гиперболическим синусом называется функция
Основные свойства гиперболического синуса
1. Область определения:
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции: 
6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для 
положительна – для 
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех
9. Точки пересечения с осями координат: 
10. Асимптоты: асимптот не имеет.
11. График функции изображен на рис. 6.3.
Гиперболическим косинусом называется функция
Основные свойства гиперболического косинуса
1. Область определения:
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: четная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при возрастает при
9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке ось Ох не пересекает.
10. Асимптоты: асимптот не имеет.
11. График функции изображен на рис. 6.4.
 |
 |
Рис. 6.3 Рис. 6.4
Гиперболические тангенс и котангенс определяются через отношение гиперболических синуса и косинуса.
Гиперболическим тангенсом Называется функция
т. е. 
Основные свойства гиперболического тангенса
1. Область определения:
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции:
6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для
9. Точки пересечения с осями координат:
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты 
и 
11. График функции изображен на рис. 6.5.
 |
Рис. 6.5
Гиперболический котангенсом называется функция
т. е. 
Основные свойства гиперболического котангенса
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает для 
9. Точки пересечения с осями координат: нет.
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и
11. График функции изображен на рис. 6.6.
Рис. 6.6
Пример 1. Сравнить числа:
1) 
и 
2) 
и 
3) 
и 
Решение. 1) Преобразуем числа к одному основанию:
Так как 
и функция 
монотонно возрастает, то 
следовательно, 
2) Преобразуем числа:
Так как 
и функция 
монотонно убывает, то 
следовательно, 
3) Преобразуем числа:
Так как 
и функция 
монотонно возрастает, то 
тогда и 
Пример 2. Построить график функции:
1) 
2) 
Решение. 1) Строим график функции 
График функции 
получаем из предыдущего путем смещения его на 3 единицы влево по оси Ох и на 4 единицы вниз по оси Оу.
Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции 
которая лежит над осью Ох и на оси Ох. Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох, отображаем в верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси Ох (рис. 6.7).
 |
Рис. 6.7
2) Строим график функции 
(см. рис. 6.5).
График функции 
получаем из предыдущего путем смещения его на 2 единицы вниз вдоль оси Оу.
Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции 
которая лежит правее оси Оу и на оси Оу. Часть графика, которая лежит левее оси Оу, отбрасываем, а оставшуюся часть отображаем в левую полуплоскость симметрично оси Оу (рис. 6.8).
Рис. 6.8
Пример 3. Доказать тождество 
Решение. 
