Определение 1. Углом между пересекающимися прямыми Называется величина любого из углов, который образуется при пересечении прямых. Если прямые параллельны или совпадают, то угол считается равным нулю.
Пусть A и B две прямые, заданные своими общими уравнениями в прямоугольной системе координат:
A: A1X + B1Y + C1 = 0,
B: A2X + B2Y + C2 = 0,
A12 + B12 ≠ 0, A22 + B22 ≠ 0.
Рассмотрим нормальные векторы N1 = (A1,B1), N2 = (A2,B2) прямых A и B. В силу теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол j между прямыми A и B равен углу между нормальными векторами N1 и N2. По определению скалярного произведения векторов
N1N2 = |N1|×| N2|cos J.
Отсюда находим формулу косинуса угла между прямыми A и B:
. (7)
По формулам синуса и тангенса угла между векторами на плоскости находим:
, (8)
. (9)
Отметим, что формула (9) наиболее удобна, так как не содержит радикалов, но не верна в том случае, когда прямые A и B перпендикулярны.
Заметим, что прямые A и B перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы N1 и N2 этих прямых ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение N1N2 = 0. Так как N1N2 = A1A2+B1B2, то получаем теорему.
Теорема 2. Прямые A И B Перпендикулярны тогда и только тогда, когда
1N2 = A1A2+B1B2 = 0. (10)
Если прямые заданны уравнениями
Y = K1X + B1, Y = K2X + B2
с угловым коэффициентом, то из формулы (9) находим формулу для нахождения угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами:
. (11)
Условие (10) перпендикулярности прямых в этом случае принимает вид:
K1K2 + 1 = 0. (12)