17.12. Связь тензоров 2го ранга с матрицей линейного оператора и с определителями

Пусть в Еn задан линейный оператор А с матрицей (Аij). Тогда: Yi = Aijxj (в базисе Еi). Рассмотрим в Еn базис {Ei¢}: Yi¢ = Ai¢J¢Xj¢ Þ Pi¢IYi = Ai¢J¢Pj¢JXj . Умножим обе части равенства на Pi¢K. Pi¢IPi¢KYi = Ai¢J¢Pj¢JPi¢KXj Þ dIkyi = Ai¢J¢Pj¢JPi¢KXj Þ Yk = Pi¢KPj¢JAi¢J¢Xj. С другой стороны: Yi = Aijxj, т. е. Aij = Pi¢IPj¢JAij.

Таким образом, элементы матрицы линейного оператора образуют тензор 2го ранга.

Наоборот всякий тензор 2го ранга можно истолковать как матрицу линейного оператора.

Поэтому теория тензоров 2го ранга непосредственно связана с теорией линейных операторов и с теорией матриц.

Это дает возможность выявить связь тензоров 2го ранга с определителями и т. д.

Теперь: пусть jIk – произвольный тензор 2го ранга. Построим тензор 3го ранга cAbc по правилу: cAbc = eIklJIAJKBJLc . Тогда cBAc = eIklJIBJKAJLc EKIlJKbJIaJLc = eKilJIaJKbJLc = =-eIklJIaJKbJLc = –cAbc. Следовательно абсолютно антисимметричный тензор 3го ранга всегда можно представить в виде: cAbc = jeAbc, где φ – скаляр. Т. е. каждому тензору 2го ранга φIk можно поставить в соответствие скаляр φ такой, что:

EIklJIаJKbJLc = jeAbc (*)

Оказывается, что этот скаляр равен определителю, составленному из компонент φIk: , в этом легко убедиться непосредственным вычислением, например, зафиксировав в (*) говорящие индексы (скажем А = 1, B = 2, C = 3) и выполнив суммирование по немым индексам I, K, L: je123 = eIklJI1jK2jL3 = …

В этой же идеологии нетрудно ввести понятия тензора обратного к данному тензору 2го ранга (Если , то тензор обратный к тензору jIk), и получить условия обратимости тензора 2го ранга.

Можно сформулировать (а для симметричного тензора и всегда решить) задачу о приведении тензора 2го ранга к главным осям. Эта задача равносильна задаче построения собственного базиса для линейного оператора.

< Предыдущая		Следующая >